数据结构（超详细讲解！！）第二十六节 图（上）

1.基本概念

 图（Graph）是一种较线性表和树更为复杂的非线性结构。是对结点的前趋和后继个数不加限制的数据结构，用来描述元素之间“多对多”的关系(即结点之间的关系是任意的)。

一个图G = （V，E）由顶点（vertex）集V（G）和边（edge）集E（G）组成。E中的每一条边连接V中两个不同的顶点。

1、有向图（digraph）

如果图中每一条边上两个顶点都是有序的，那么图就叫做是有向图（directed graph）。 可以用带尖括号的有序点对<ν，ω>来表示有向图的一条边，其中ν，ω∈V（G）。 有向图中的边都是有方向的，称之为有向边。对于有向边来说，<ν，ω>和<ω，ν>表示的是两条方向相反的边。 有向图中的边也可称之为弧（arc），ν可称之为弧尾（tail）或初始点（initial node），ω可称之为弧头（head）或终端点（terminal node）。

V（G1）={ν1，ν2，ν3，ν4}  

E（G1）={<ν1，ν2>，<ν2，ν1>，<ν3，ν1>，<ν3，ν4>，<ν2，ν4>}

2、无向图（undigraph）

如果图中每一条边上两个顶点都是无序的，那么图就叫做是无向图（undirected graphy） 可以用带圆括号的点对（ν，ω）来表示无向图的一条边，其中ν，ω∈V（G）。 无向图中的边都是没有方向的，称之为无向边。其中，（ν，ω）和（ω，ν）表示的是同一条边。

V（G2）={1，2，3，4}

E（G2）={（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}

3、邻接点

如果图G = （V，E）为无向图，若存在一条边（v，v’）∈E（G），则称点v和v’互为邻接点，即v和v’相邻接，边（v，v’）依附于顶点v和v’，或者说（v，v’）和顶点v和v’相关联。 如果图G = （V，E）为有向图，若存在一条弧 ∈E（G），则称顶点v邻接到顶点v’，顶点v’邻接自顶点v，弧 和顶点v和v’相关联。

4. 度、入度和出度

顶点的度 ：顶点v的度TD(V)=和v相关联的边的数目

在无向图中, 顶点所具有的边的数目称为该顶点的度

入度和出度：

对于有向图G={V,{A}}：

v的入度ID(v) = 以顶点v为头的弧的数目

v的出度OD(v) = 以顶点v为尾的弧的数目

有向图中，顶点的度 = 入度 + 出度

一个有n个顶点，e条边的图满足下列等式：

即边(或弧)的总数 = 各个顶点的度的总数的一半

5、完全图、稀疏图与稠密图

设n为顶点数，e为边或弧的条数    

对无向图有：0 ≤ e ≤  n(n-1)/2        

有向图有：0≤ e ≤ n(n-1)

证明：每个顶点至多有n-1条边与其它的n-1个顶点相连，则n个顶点至多有n(n-1)条边。但每条边连接2个顶点，故最多为n(n-1)/2。

完全图：边达到最大的图

无向完全图：具有n(n-1)/2条边的简单图称为无向完全图  

有向完全图：具有n(n-1)条边的有向图。  

稀疏图： 边或弧很少的图。

稠密图： 边或弧很多的图。 

6. 路径与回路

路径：在图G 中，如果存在一个顶点序列（ω1，ω2，ω3，…，ωN），使得（ωi，ωi+1）∈E（G），1 ≤ i ＜ N，则称这个顶点序列为顶点ω1到顶点ωN的一条路径（path）。

G1中{ 1，2，5，7 }是一条路径

G2中{ 1，2，3，5，6 }是一条路径

如果G是有向图，则路径也是有向的

路径长度：路径上边或弧的数目或沿路径各边权值之和

回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径

简单路径：序列中顶点不重复出现的路径(即不含回路的路径)

简单回路：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路叫简单回路

7、子图    

设有两个图 G＝(V, E) 和 G’＝(V’, E’)。若 V’真包含于 V 且 E’真包含于E, 则称 图G’ 是 图G 的子图。

8、连通图

连通图 ：在无向图G中，如果从顶点v到顶点v’有路径，则称v和v’是连通的

如果对于图中的任意两个顶点vi和vj都是连通的，则称G是连通图

是否连通是对无向图来说的

连通分量 ：

无向图中的极大连通子图 连通图只有一个连通分量，就是它本身，而非连通图有多个连通分量。

强连通图 ：

在有向图G中，如果每一对vi,vj，都存在从vi到vj和从 vj到vi的路径的路径，则称G为强连通图

是否强连通是对有向图来说的

强连通分量 ：

有向图中的极大强连通子图

显然,强连通图只有一个强连通分量,即本身

非强连通图有多个强连通分量。

有n个顶点的有向强连通图最多有n(n-1)条边(构成一个有向完全图的情况)；最少有n条边(n个顶点依次首尾相接构成一个环的情况)。

9、生成树

生成子图 ：包括所有顶点的子图，成为生成子图

生成树  若生成的子图是树，则称为生成树。

一个连通图的生成树是指一个极小连通子图，它含有图中的全部顶点，但只有足以构成一个树的n-1条边。

一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果图中多于n-1条边，则一定有回路。

如果一个图具有n个顶点且边数小于n-1条，则该图一定是非连通图。

一个连通图的生成树不唯一。

10、网

权：某些图的边或弧具有与它相关的数, 称之为权。权可以代表一个顶点到另一个顶点的距离、耗费等。

网：这种带权连通图一般称为网。

若无向图G中每一条边都有一个对应的数，则称G为带权图或网。类似的，边上带权的有向图称为有向网。