2018-05-01开胃学习数学系列 - PDE 常识

这篇纯手工打字,辛苦。

针对差分格式而言,在时间步长和空间步长趋近于零的情况下,如果差分格式的截断误差,也就是差分格式和原有偏微分方程之差的模趋近于零,则该差分格式与原偏微分方程是相容的。称该差分方程与原偏微分方程具有相容性。

稳定性

  • 如果偏微分方程的严格解析解有界,差分格式给出的解也有届,称该差分格式是稳定的
    如果差分格式给出的解释无界的,则称该差分格式是不稳定的。

  • 稳定性反映了差分格式在计算中控制误差传递的能力




收敛性

  • 如果当时间步长和空间步长趋于0时,FDE解趋向于PDE解,则称该差分格式是收敛的

  • 收敛性描述的是当差分网格无限细化时,差分方程的解是否具有无限逼近偏微分方程的解的能力。




Lax 等价定理

  • 如果逼近一个给定问题的差分格式是相容的。那么该差分格式的收敛性与稳定性互为充分必要条件。
  • 相容性是比较容易满足的。在此基础上,如果满足了稳定性条件,差分格式的收敛性也自动满足。




显式差分格式

差分方法中课逐层分别求解的格式


  • 不连立解方程

  • 时间步长和空间步长的选择都受到限制,通常要求时间步长足够小


  • 化简之后,左边是n+1时刻的值,右边是n时刻的值

  • 结构简单,直接求解,求解速度快

  • 但是只有时间步长满足

显式差分格式才能得到稳定的数值解,否则,数值解将会不稳定而震荡。








隐式差分格式

  • 肉眼可以看到的区别是,第一项u的 k -(k-1)
  • 时间步长和空间步长的选择不受限制
  • 需要联立解方程




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