树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树,也就是说它树根朝上,而叶朝下的。
注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构。
节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;如上图:A的度为6
叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点;如上图:B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点:度不为0的节点;如上图:D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;如上图:A是B的父节点
孩子节点或子节点:若一个节点含有父节点,则这个节点称为其父节点的子节点;如上图:B是A的子节点
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;如上图:B、C是兄弟节点
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度;如上图:树的度为6
节点的层次:从根开始定义起,根为第一层,根的子节点为第二层,以此类推
树的高度或深度:书中节点的最大层次;如上图:树的高度为4
堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为堂兄弟节点
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A上所有节点的祖先
子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙;如上图:所有节点都是A的子孙
森林:由m(m >0)颗互不相交的树的集合称为森林
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既要保存值域,也要保存节点和节点之间的关系,实际中树有很多种表示方法,如:双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。这里举例最常用的孩子兄弟表示法。
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
表示文件系统的目录树结构
一颗二叉树是节点的一个有限集合,该集合:
从上图可以看出:
注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:
满二叉树:一个二叉树,如果每一层的节点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且节点总数是 2 k − 1 2^k - 1 2k−1,则它就是满二叉树。
完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个节点的二叉树,当且仅当其每一个节点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的节点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构。
顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。
二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一颗二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个节点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该节点左孩子和右孩子所在的链节点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链,一些简单的二叉树一般都是二叉链,而在高阶数据结构如红黑树和AVL树会用到三叉链
typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
};
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
};
普通的二叉树是不适合用数组来存储的,因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储,需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事,一个是数据结构,一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
如果有一个关键码的集合 k = k 0 , k 1 , k 2 , . . . , k n − 1 k={k_0,k_1,k_2,...,k_{n-1}} k=k0,k1,k2,...,kn−1,把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中,并满足: K i < = K 2 ∗ i + 1 且 K i < = K 2 ∗ i + 2 ( K i > = K 2 ∗ i + 1 且 K i > = K 2 ∗ i + 2 ) i = 0 , 1 , 2... K_i<=K_{2*i+1}且K_i<=K_{2*i+2}(K_i>=K_{2*i+1}且K_i>=K_{2*i+2})i=0,1,2... Ki<=K2∗i+1且Ki<=K2∗i+2(Ki>=K2∗i+1且Ki>=K2∗i+2)i=0,1,2...,则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质:
typedef int HeapDateType;
typedef struct Heap{
HeapDateType* array;
int size;
int capacity;
}Heap;
void HeapInit(Heap* p){
assert(p);
p->array = NULL;
p->size = p->capacity = 0;
}
void HeapDestroy(Heap* p){
assert(p);
free(p->array);
p->array = NULL;
p->size = p->capacity = 0;
}
void AdJustUp(HeapDateType* array, int child){
int parent = (child - 1) / 2;
while(child > 0){
if(array[child] < array[parent]){
Swap(&array[child], &array[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else{
break;
}
}
}
void HeapPush(Heap* p, HeapDateType data){
assert(p);
if(p->size == p->capacity){
int NewCapacity = p->capacity == 0 ? 4 : p->capacity * 2;
HeapDateType* NewArray = (HeapDateType*)realloc(p->array, sizeof(HeapDateType) * NewCapacity);
if(NewArray == NULL){
perror("realloc fail");
exit(-1);
}
p->capacity = NewCapacity;
p->array = NewArray;
}
p->array[p->size++] = data;
AdJustUp(p->array, p->size - 1);
}
void AdJustDown(HeapDateType* array, int arraySize, int parent){
int child = parent * 2 + 1;
while(child < arraySize){
if(child + 1 < arraySize && array[child] > array[child + 1]){
child++;
}
if(array[child] < array[parent]){
Swap(&array[child], &array[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else{
break;
}
}
}
将数组中的第一个和最后一个交换,然后数组尾删,再然后重新进行堆的向下排序算法。
void HeapPop(Heap* p){
assert(p);
assert(!HeapEmpty(p));
Swap(&p->array[0], &p->array[--p->size]);
AdJustDown(p->array, p->size, 0);
}
HeapDateType HeapTop(Heap* p){
assert(p);
assert(!HeapEmpty(p));
return p->array[0];
}
int HeapEmpty(Heap* p){
assert(p);
return p->size == 0;
}
int HeapSize(Heap* p){
assert(p);
return p->size;
}
堆排序即利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:
1. **建堆**
* 升序:建大堆
* 降序:建小堆
2. **利用堆删除思想来进行排序**
建堆和堆删除中都用到了向下调整,因此掌握了向下调整,就可以完成堆排序。
用到了数据结构——堆,建好堆并且初始化后,将数组里面的每个元素插入堆里,然后每次取堆顶元素放入数组中,即可完成排序。
建堆时间复杂度: O ( N ∗ l o g N ) O(N*log^{N}) O(N∗logN)、空间复杂度 O ( N ) O(N) O(N)
排序时间复杂度: O ( N ∗ l o g N ) O(N*log^{N}) O(N∗logN)、空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)
void HeapSort1(int* arr, int arrSize){
Heap obj;
HeapInit(&obj);
//建堆
for(int i = 0; i < arrSize; i++){
HeapPush(&obj, arr[i]);
}
//排序
for(int i = 0; i < arrSize; i++){
arr[i] = HeapTop(&obj);
HeapPop(&obj);
}
}
直接对数组进行向上调整建堆,建好之后,依次将堆顶元素与数组尾元素进行交换然后向下调整(调整时不包括交换过的堆顶元素),即可完成排序。
建堆时间复杂度 O ( N ∗ l o g N ) O(N*log^{N}) O(N∗logN)、空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)
排序时间复杂度: O ( N ∗ l o g N ) O(N*log^{N}) O(N∗logN)、空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)
void HeapSort2(int* arr, int arrSize){
for(int i = 0; i < arrSize; i++){
AdJustUp(arr, i);
}
for(int i = arrSize - 1; i > 0; i--){
Swap(&arr[0], &arr[i]);
AdJustDown(arr, i, 0);
}
}
对数组进行向下调整建堆,其余操作与方法二相同
建堆时间复杂度 O ( N ) O(N) O(N)、空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)
排序时间复杂度: O ( N ∗ l o g N ) O(N*log^{N}) O(N∗logN)、空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)
void HeapSort3(int* arr, int arrSize){
for(int i = (arrSize - 1 - 1) / 2; i > 0; i--){
AdJustDown(arr, arrSize, i);
}
for(int i = arrSize - 1; i > 0; i--){
Swap(&arr[0], &arr[i]);
AdJustDown(arr, i, 0);
}
}
TOP-K问题:即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素(不要求排序),一般情况下数据量都比较大。
比如:专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于TOP-K问题,能想到的最直接简单的方法就是排序,但是:如果数据量非常大,排序就不太可取(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决,基本思路如下:
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后,堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或最大元素(该K个元素是未排序的)。
int* GetMaxTopK(int* arr, int arrSize, int k){
int* heap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
for(int i = 0; i < k; i++){
heap[i] = arr[i];
}
for(int i = (k - 1 - 1) / 2; i > 0; i--){
AdJustDown(heap, k, i);
}
for(int i = k; i < arrSize; i++){
if(arr[i] > heap[0]){
heap[0] = arr[i];
AdJustDown(heap, k, 0);
}
}
return heap;
}
二叉树是:
从概念中可以看出,二叉树定义是递归的,因此后序内容中的操作基本都是按照该概念实现的。
typedef char BinaryTreeDateType;
typedef struct BinaryTreeNode{
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
BinaryTreeDateType data;
}BinaryTreeNode;
由于二叉树不能进行增加和删除操作,所以一般都是给定一个字符串,该字符串中含有需要我们构建的二叉树的所有节点,我们通过读取字符串中的内容来构建二叉树。
//通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树(#表示空树)
BinaryTreeNode* BinaryTreeCreate(BinaryTreeDateType* array, int* pi){
if(array[*pi] == '#'){
(*pi)++;
return NULL;
}
BinaryTreeNode* root = (BinaryTreeNode*)malloc(sizeof(BinaryTreeNode));
if(root == NULL){
perror("malloc fail");
exit(-1);
}
root->data = array[(*pi)++];
root->left = BinaryTreeCreate(array, pi);
root->right = BinaryTreeCreate(array, pi);
return root;
}
void BinaryTreeDestroy(BinaryTreeNode* root){
if(root == NULL){
return;
}
BinaryTreeDestroy(root->left);
BinaryTreeDestroy(root->right);
free(root);
}
int BinaryTreeSize(BinaryTreeNode* root){
if(root == NULL){
return 0;
}
return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}
int BinaryTreeLeafSize(BinaryTreeNode* root){
if(root == NULL){
return 0;
}
if(root->left == NULL && root->right == NULL){
return 1;
}
return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}
int BinaryTreeLevelKSize(BinaryTreeNode* root, int k){
if(root == NULL){
return 0;
}
if(k == 1){
return 1;
}
return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
int BinaryTreeHeight(BinaryTreeNode* root){
if(root == NULL){
return 0;
}
int HeightLeft = BinaryTreeHeight(root->left);
int HeightRight = BinaryTreeHeight(root->right);
return (HeightLeft > HeightRight ? HeightLeft : HeightRight) + 1;
}
BinaryTreeNode* BinaryTreeFind(BinaryTreeNode* root, BinaryTreeDateType x){
if(root == NULL){
return NULL;
}
if(root->data == x){
return root;
}
BinaryTreeNode* RetLeft = BinaryTreeFind(root->left, x);
if(RetLeft){
return RetLeft;
}
BinaryTreeNode* RetRight = BinaryTreeFind(root->right, x);
if(RetRight){
return RetRight;
}
return NULL;
}
二叉树有四种遍历方式:前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历。
前序遍历:先访问根节点,再访问左子树,再访问右子树。
中序遍历:先访问左子树,再访问根节点,再访问右子树。
后序遍历:先访问左子树,再访问右子树,再访问根节点,
层序遍历:按照二叉树的逻辑结构,每一层每一层的访问,而每一层遵循从左到右的方向访问。
void BinaryTreePrevOrder(BinaryTreeNode* root){
if(root == NULL){
return;
}
printf("%d ", root->data);
BinaryTreePrevOrder(root->left);
BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
void BinaryTreeInOrder(BinaryTreeNode* root){
if(root == NULL){
return;
}
BinaryTreeInOrder(root->left);
printf("%d ", root->data);
BinaryTreeInOrder(root->right);
}
void BinaryTreePostOrder(BinaryTreeNode* root){
if(root == NULL){
return;
}
BinaryTreePostOrder(root->left);
BinaryTreePostOrder(root->right);
printf("%d ", root->data);
}
区别于上面三种遍历(递归),层序遍历采用的是非递归(用到了队列),基本思路如下:
先将二叉树的根节点入队列,当根节点出队列时,将该根节点的左右节点入队列。
就会导致一个效果:每当该层的节点全部出队列时(访问完毕),该层的下一层的节点已经全部入了队列。
void BinaryTreeLevelOrder(BinaryTreeNode* root){
Queue con;
QueueInit(&con);
if(root){
QueuePush(&con, root);
}
while(!QueueEmpty(&con)){
BinaryTreeNode* front = QueueFront(&con);
QueuePop(&con);
printf("%c ", front->data);
if(front->left){
QueuePush(&con, front->left);
}
if(front->right){
QueuePush(&con, front->right);
}
}
printf("\n");
QueueDestroy(&con);
}
对于深度为K的,有n个节点的二叉树,当且仅当其每一个节点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的节点一一对应时称之为完全二叉树。
完全二叉树严格遵守以上定义。
所以当遍历完全二叉树出现第一次空树时,后面的遍历中绝不可能再出现非空树,如果出现非空树,则该树不是完全二叉树。
bool BinaryTreeComplete(BinaryTreeNode* root){
Queue con;
QueueInit(&con);
if(root){
QueuePush(&con, root);
}
while(!QueueEmpty(&con)){
BinaryTreeNode* front = QueueFront(&con);
QueuePop(&con);
if(front == NULL){
break;
}
QueuePush(&con, front->left);
QueuePush(&con, front->right);
}
while(!QueueEmpty(&con)){
BinaryTreeNode* front = QueueFront(&con);
QueuePop(&con);
if(front != NULL){
QueueDestroy(&con);
return false;
}
}
QueueDestroy(&con);
return true;
}
由于代码完全由C实现,并且有些接口需要用到队列,所以工程中将引入由C实现的队列。
顺序二叉树(堆)与链式二叉树的C语言实现