相关系数对二维正态分布图像的影响

二维正态分布的表达式:
f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 exp ⁡ { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ] } f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]\} f(x,y)=2πσ1σ21ρ2 1exp{2(1ρ2)1[σ12(xμ1)2σ1σ22ρ(xμ1)(yμ2)+σ22(yμ2)2]}
其中 μ 1 , μ 2 \mu_1,\mu_2 μ1,μ2 为均值, σ 1 2 , σ 2 2 \sigma_1^2,\sigma_2^2 σ12,σ22为方差, ρ \rho ρ为相关系数,且 − 1 < ρ < 1 -1<\rho<1 1<ρ<1

先用一些大致的图像来感受相关系数对二维正态分布的影响

三维立体图

相关系数对二维正态分布图像的影响_第1张图片
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散点图

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从图象上我们大致可以看出,当 ρ \rho ρ 0 0 0 向无限接近于 1 1 1 变化的过程中,图像越来越向 直线 y = x y=x y=x集中;当 ρ \rho ρ 0 0 0 向无限接近于 − 1 -1 1 变化的过程中,图像越来越向 直线 y = − x y=-x y=x 集中。这与我们对相关系数的认识是一致的。那么,现在我们从表达式的角度来分析,相关系数为什么会对图像带来这样的影响。

对表达式进行分析

为了分析简单,我采用控制变量法,令 μ 1 = μ 2 = 0 , σ 1 = σ 2 = 1 \mu_1=\mu_2=0,\sigma_1=\sigma_2=1 μ1=μ2=0σ1=σ2=1.
此时有
f ( x , y ) = 1 2 π 1 − ρ 2 exp ⁡ { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ x 2 − 2 ρ x y + y 2 } f(x,y)= \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[x^2-2\rho xy+y^2\} f(x,y)=2π1ρ2 1exp{2(1ρ2)1[x22ρxy+y2}
我们把式子改写为:
f ( x , y ) = 1 2 π 1 − ρ 2 exp ⁡ { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − ρ y ) 2 + ( 1 − ρ 2 ) y 2 } = e − y 2 2 2 π 1 − ρ 2 exp ⁡ { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − ρ y ) 2 } \begin{align*} f(x,y) &= \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(x-\rho y)^2+(1-\rho^2) y^2\}\\ &= \frac{e^{-\frac{y^2}{2}}}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(x-\rho y)^2\} \end{align*} f(x,y)=2π1ρ2 1exp{2(1ρ2)1[(xρy)2+(1ρ2)y2}=2π1ρ2 e2y2exp{2(1ρ2)1[(xρy)2}
ρ \rho ρ 对图像对称中心的影响
从上式我们可以看出,当 y y y 取一定的值的时候, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是关于 x = ρ y x=\rho y x=ρy对称的,也就是关于 x x x 的类正态分布(叫类正态分布是因为它的形状和正态分布基本一样,但是前面系数多了个 e − y 2 2 e^{-\frac{y^2}{2}} e2y2,所以概率密度的积分不唯一)。

ρ = 0 , y = 0 \rho=0,y=0 ρ=0,y=0 图像就退化成 x x x 的一维正态分布,若 ρ = 0 , y = a ≠ 0 \rho=0,y=a\neq 0 ρ=0,y=a=0, 图像就退化成 x x x 的类正态分布,但只要 ρ = 0 \rho=0 ρ=0, 关于 x x x 的类正态分布的中心点是不受 y y y 影响的。

用一句更直接的话说,当固定 y y y 的值,关于 x x x 的类正态分布的中心点一定在 x = ρ y x = \rho y x=ρy 这条直线上,也就是说,点(X,Y)出现概率最高的点一定在 x = ρ y x=\rho y x=ρy 这条直线附近。

ρ \rho ρ 对图像集中程度的影响
我们可以看到,上式中 ρ \rho ρ出现的地方除了在分子 ( x − ρ y ) 2 (x-\rho y)^2 (xρy)2中,还出现在了指数的分母和左边系数的分母中,这其实是一维正态分布方差出现的位置,甚至我们可以这样说:

f ( x ) = 1 2 π 1 − ρ 2 exp ⁡ { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − ρ y ) 2 } f(x) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(x-\rho y)^2\} f(x)=2π1ρ2 1exp{2(1ρ2)1[(xρy)2}

在上面我们抽离出来分析的表达式中, 1 − ρ 2 1-\rho^2 1ρ2 起到的是方差的作用,而 ρ y \rho y ρy 起到的是均值的作用,所以当 ρ \rho ρ 越接近于0,该表达式的方差越大,关于 x x x的正态分布的图像越平,当 r h o rho rho越接近于1,该表达式的方差越接近于0,关于 x x x的正态分布的图像越尖。

这基本从表达式的角度说明了,为什么当 ρ \rho ρ 从 0 向 1 ( − 1 ) 1(-1) 1(1) 变化的过程中,图像从环状的散点图,变成了集中于 y = x ( y = − x ) y=x(y=-x) y=x(y=x)的线状的散点图。

另外由于系数 e − y 2 2 2 π 1 − ρ 2 \frac{e^{-\frac{y^2}{2}}}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} 2π1ρ2 e2y2 的中 e − y 2 2 e^{-\frac{y^2}{2}} e2y2 项的存在,位于图像的绝对中心点 x = 0 , y = 0 x=0,y=0 x=0,y=0 附近出现的概率密度总是最大的。举例来说,固定 y = 0 y=0 y=0 和固定 y = 1 y=1 y=1,关于 x x x的类正态分布形状几乎一模一样,但是 y = 1 y=1 y=1的图像比 y = 0 y=0 y=0的图像矮。这也解释了为什么散点图总是一个椭圆状,而不是长方形状。

总结

如果把 μ 1 , μ 2 \mu_1,\mu_2 μ1,μ2 σ 1 2 , σ 2 2 \sigma_1^2,\sigma_2^2 σ12,σ22对图像的影响加入进来,讨论要复杂一些,但是 ρ \rho ρ 对图像的影响的基本方向不会变,有集中程度和对称中心两方面的影响。其实 μ 1 , μ 2 \mu_1,\mu_2 μ1μ2也不过是把图像的对称中心从 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 转移到了 ( μ 1 , μ 2 ) (\mu_1,\mu_2) (μ1,μ2),而 σ 1 , σ 2 \sigma_1,\sigma_2 σ1,σ2若是不相等,就是 ρ = 0 \rho = 0 ρ=0 时的圆环状散点图会变成椭圆环状散点图,之后将 ρ \rho ρ 0 0 0 1 ( − 1 ) 1(-1) 1(1) 进行变化,变化趋势是一样的。至于这个二维正态分布的表达式是怎么推出来的,请看我另外一篇文章。

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