常微分方程

欧拉方法

对于方程$y^{\prime }(x)=f(x,y)$
它的数值解是$y_{i+1}=y_i+hf(x_i,y_i)$,给定一个$y_0$,可以求出一系列$y_i$
它来源于导数的近似解

$y^{\prime }(x_i)\approx \frac{y(x_{i+1})-y(x_i)}{h}$

中点法
$y_{i+1}=y_i+hf(x_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}f(x_i,y_i))$
它来源于导数的另一种近似解

$y^{\prime }(x_i)\approx \frac{y(x_i+\frac{h}{2})-y(x_i-\frac{h}{2})}{h}$

改进欧拉方法
$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}[f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_{i+1})]$
来源于梯形积分的梯形近似
$y(x_{i+1})-y(x_i)={\int }_{x_i}^{i+1}f(x,y)dx$
改进欧拉方法等式右端也有待求的$y_{i+1}$项,他可以用欧拉方法先出来,然后代入等式再计算新的解

龙格-库塔方法

欧拉是泰勒展开保留零次和一次项,高阶泰勒方法可以保留更多次项以取得更高的精度

泰勒展开:$y(x_{i+1})=y(x_i)+h{y}^{\prime }(x_i)+\frac{h^2}{2}{y}^{\prime \prime }(x_i)+...$

数值微分可以用一些等间隔点线性组合近似各级导数;
$f^{(n)}(x)\approx \sum a_{k}f(x_k)$

把泰勒展开和各级导数的近似融一起有这种形式的微分方程
$y_{i+1}=y_i+h\sum a_{k}f(x_k,y_k)$ 这里的$a_k$和上面的$a_k$不等,它是各级导数的$a_k$的和
把$x_k,y_k$按照等间隔h展开有
$y_{i+1}=y_i+h[a_{1}f(x_i,y_i)+a_{2}f(x_i+{\lambda }_{2}h,y_i+u_{2}h)+...+a_{k}f(x_i+{\lambda }_{k}h,y_i+u_{k}h)]$
另外下一个点的y通常是之前的y沿着导数方向移动而来,所以$u_i=\sum \beta f(x_k,y_k)$
龙格-库塔方法可以写成如下形式:
$\{\begin{array}{l}{y}_{i+1}=y_i+h[a_1{K}_1+a_2{K}_2+...]\\ K_1=f(x_i,y_i)\\ K_2=f(x_i+{\lambda }_{2}h,y_i+h{\beta }_{21}{K}_1)\\ ...\\ K_p=f(x_i+{\lambda }_{p}h,y_i+h{\sum }_{j=1}^{p-1}{\beta }_{pj}{K}_j)\end{array}$

这就是龙格-库塔方法的一般形式
如果$p=1,a=1$,它就是欧拉方法
$p=2,a_1=0,a_2=1,{\lambda }_2=0.5,u_2=0.5f(x_i,y_i)$是中点法
$p=2,a_1=0.5,a_2=0.5,{\lambda }_2=1,u_2=f(x_i,y_i)$是改进欧拉方法

龙格-库塔方法里面的系数$a_i,{\beta }_{pj}$可以用系数对照法建立关系式求出
对$K_p$进行二元泰勒展开得到一个关系式,对$y(x_{i+1})$进行泰勒展开得到另一个关系式,两相对比可以建立系数$a_i,{\beta }_{pj}$之间的关系
二阶龙格-库塔方法算出来是
$\{\begin{array}{l}{a}_1+a_2=1\\ a_2{\lambda }_2=1/2\\ a_2{\beta }_{21}=1/2\end{array}$
他有无穷多解,中点法,改进欧拉方法都满足这个关系

二阶龙格-库塔方法算出来是
$\{\begin{array}{l}{a}_1+a_2+a_3=1\\ a_2{\lambda }_2+a_3{\lambda }_3=1/2\\ a_2{\lambda }_2^2+a_3{\lambda }_3^2=1/3\\ a_3{\lambda }_2{\beta }_{32}=1/6\\ a_2={\beta }_{21}\\ a_3={\beta }_{31}+{\beta }_{32}\end{array}$

线性多步法

阿达姆斯线性多步法从数值积分角度理解欧拉方法,并利用更多点近似积分取得更高精度
阿达姆斯线性多步法
$y_{i+1}=y_i+h{\sum }_{j=0}^r{\beta }_j^{(r)}f(x_{i-j},y_{i-j})$
这里面的${\beta }_j^{(r)}$可以查表

r\j	0	1	2	3	4
0	1
1	$\frac{3}{2}$	-$\frac{1}{2}$
2	$\frac{23}{12}$	-$\frac{16}{12}$	$\frac{5}{12}$
3	$\frac{55}{24}$	-$\frac{59}{24}$	$\frac{37}{24}$	-$\frac{9}{24}$
4	$\frac{1901}{720}$	$-\frac{2774}{720}$	$\frac{2616}{720}$	$-\frac{1274}{720}$	$\frac{251}{720}$