＜蓝桥杯软件赛＞零基础备赛20周--第8周第1讲--十大排序
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文章目录
- 1. 选择排序
- 2. 冒泡排序
- 3. 插入排序
- 4. 希尔排序
- 5. 计数排序
- 6. 桶排序
- 7. 基数排序
- 8. 归并排序
- 9. 快速排序
- 10. 堆排序
第8周第1讲: 十大排序
排序是数据处理的基本操作，每次算法竞赛都必定用到排序。在绝大多数情况下，并不需要自己手写排序代码，而是直接用系统提供的函数sort()。
不过，还是强烈建议学习各种排序算法，掌握原理，自己实现代码，因为各种排序算法有不同的思路，很多算法来源于这些排序算法。
用下面的题目详解十种排序算法。
例题：排序
1. 选择排序
选择排序（Selection sort）是最简单直观的排序算法。
排序的目的是什么？对n个数从小到大排序，就是把杂乱无序的n个数，放到它们应该在的位置。
最简单的做法是：找到最小的数，放在第1个位置；找到第2小的数，放在第2个位置；…；找到第n大的数，放在第n个位置。
这个思路就是选择排序。具体操作：
（1）第一轮，在n个数中找到最小的数，然后与第1个位置的数交换。这样就把最小的数放到了第1个位置。
（2）第二轮，在第2 ~ 第n个数中找到最小的数，然后与2个位置的数交换。
…
一共执行n轮操作，第i轮找到第i大的数，放到第i个位置。结束。
C++代码
#includeJava代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int a[] = new int[100005];
static int n;
public static void selection_sort() {
for (int i = 0; i < n-1; i++) { //找a[i]~a[n-1]的最小数
int m = i; //m: 记录a[i]~a[n-1]的最小数所在位置
for (int j = i+1; j < n; j++)
if (a[j] < a[m])
m = j;
int temp = a[i]; a[i] = a[m]; a[m] = temp; //交换
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = scanner.nextInt();
selection_sort();
for (int i = 0; i < n; i++) System.out.print(a[i] + " ");
}
}
Python代码
def selection_sort():
global a, n
for i in range(n-1):
m = i
for j in range(i+1, n):
if a[j] < a[m]: m = j
a[i], a[m] = a[m], a[i] #交换
n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
selection_sort()
for i in range(n): print(a[i], end=" ")
选择排序算法的计算量是多少？找最小的数需要比较n-1次，找第2小的必要比较n-2次，…，一共需要比较约 n 2 / 2 n^2/2 n2/2次，把它的计算复杂度记为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。看代码也能分析出来，有两重for循环，分别循环约n次，共循环 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)次。
上述代码提交到判题系统，只能通过20%的测试。判题系统一般给一秒的执行时间，计算机一秒约能计算1亿次。本题若测试 n = 1 0 5 n=10^5 n=105个数，选择排序需要计算 n 2 n^2 n2=100亿次，超时。
选择排序是一种“死脑筋”的算法，它与原数列的特征无关，不管原数列是不是有序，都得计算 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)次。下一个“冒泡算法”就聪明得多，如果第一轮找最大数时发现数列已经有序，就停止不再做排序计算。
选择排序虽然低效，但也有优点：（1）简单易写；（2）不占用额外的空间，排序就在原来数列上操作。
2. 冒泡排序
冒泡排序（Bubble sort）也是一种简单直观的排序算法。它的原理和选择排序差不多：
第一轮，找到第1大的数，放在第n个位置；
第二轮，找到第2大的数，放在第n-1个位置；
…
第n轮，找到最小的数，放到第1个位置。
不过，与选择排序的简单粗暴相比，冒泡排序用到了“冒泡”这个小技巧。以“第一轮，找最大的数并放到第n个位置”为例，操作是：
（1）从第1个数a[0]开始，比较a[0]和a[1]，如果a[0]>a[1]，交换。这一步把前2个数中的大数放到了第2个位置。
（2）比较a[1]和a[2]，如果a[1]>a[2]，交换。这一步把前3个数中的最大数放到了第3个位置。
…
依次比较相邻的两个数，一直到最后的a[n-2]、a[n-1]，就把最大的数放到了第n个位置。
这个过程形象地比喻为“冒泡”。
其他的数也用同样的方法处理，一共做n轮。第i轮找第i大的数并放到第i个位置，冒泡到a[i-1]，就把第i大的数放到了第i个位置。
C++代码
#include 冒泡算法的计算复杂度，第5行和第7行的两重for循环，计算复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
冒泡算法可以做一点优化：若两个相邻的数已经有序，那么不用冒泡；在第i轮求第i大的数时，若一次冒泡都没有发生，说明整个数列已经有序，结束。代码第6行的swapped判断是否发生了冒泡。冒泡算法是“聪明”的排序算法。
Java代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int a[] = new int[100005];
static int n;
public static void bubble_sort() {
boolean swapped;
for (int i = 0; i < n-1; i++) {
swapped = false;
for (int j = 0; j < n-i-1; j++)
if (a[j] > a[j+1]) {
int temp = a[j]; a[j] = a[j+1]; a[j+1] = temp; //交换
swapped = true;
}
if (!swapped) break;
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = scanner.nextInt();
bubble_sort();
for (int i = 0; i < n; i++) System.out.print(a[i] + " ");
}
}
Python代码
def bubble_sort():
global a, n
for i in range(n-1):
swapped = False
for j in range(n-i-1):
if a[j] > a[j+1]:
a[j], a[j+1] = a[j+1], a[j]
swapped = True
if not swapped: break
n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
bubble_sort()
for i in range(n): print(a[i], end=" ")
3. 插入排序
插入排序（Insertion sort）是一种“动态”算法：在一个有序数列上，新增一个数x，把它插入到有序数列中的合适位置，使数列仍保持有序。
如何插？简单的做法是，从有序数列的最后一个数开始，逐个与x比较，若这个数比x大，就继续往前找，直到找到比x小的数，把x插到它后面。
具体操作，以{3,7,4,5,6,1,8,2}为例：
（1）从第一个数a[0]开始。它构成了长度为1的有序数列{a[0]}。
（2）新增a[1]，把它插到有序数列{a[0]}中。若a[1]≥a[0]，完成。若a[1]
（3）新增a[2]，把它插到有序数列{a[0],a[1]}中。
…
下面是代码，概况执行过程：从a[1]开始遍历数组，将当前的数作为key，然后将它和前面的有序数列一一比较，如果发现前一个数大于key，则将它后移一位，直到找到一个前面的数不再大于key，就找到了key应该插入的位置，将key插入到该位置即可。
C++代码
#include 插入排序的计算复杂度取决于第5行的for循环和第8行的while循环，这是两重循环，各循环O(n)次，总计算复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
插入排序是不是和冒泡排序一样“聪明”？也就是说，如果在一个有序的数列上运行插入排序算法，需要计算多少次？此时第8行的while的判断条件 a[j] > key始终不成立，while内的第9、10行不会执行，而第12行实际上就是a[i]=key，没有任何变化。那么for、while这两重循环实际上变成了只有for一个循环，一共计算O(n)次即结束。所以插入排序和冒泡排序一样“聪明”。
Java代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int a[] = new int[100005];
static int n;
public static void insertion_sort() {
for (int i = 1; i < n; i++) {
int key = a[i];
int j = i - 1;
while (j >= 0 && a[j] > key) {
a[j+1] = a[j];
j--;
}
a[j+1] = key;
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = scanner.nextInt();
insertion_sort();
for (int i = 0; i < n; i++) System.out.print(a[i] + " ");
}
}
Python代码
def insertion_sort():
global a, n
for i in range(1, n):
key = a[i]
j = i - 1
while j >= 0 and a[j] > key:
a[j+1] = a[j]
j -= 1
a[j+1] = key
n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
insertion_sort()
for i in range(n): print(a[i], end=" ")
下一节的希尔排序是对插入排序的优化，其核心思想是让数列尽量有序，从而减少while循环。
4. 希尔排序
希尔排序（Shell sort）是一种基于插入排序的高效算法。
先给出代码，可以看到，shell_sort()仅仅是分多次做插入排序insertation_sort()。代码的关键处是称为“排序间距”的变量gap，通过多轮gap操作，减少了插入排序时的while循环的计算。
C++代码
#include 以int a[]={8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}这8个数从小到大排序为例，说明希尔排序的步骤。
（1）gap = 8/2 = 4，对间距为4的数排序。共有4组数的间距为4，这四组数分别是{8, 4}、{7, 3}、{6, 2}、{5, 1}。分别在这4组数内部做插入排序。例如{8, 4}做插入排序结果是{4, 8}。在这一轮，每组内的数做插入排序时都要进入代码第8行的while执行交换操作，共执行4次。经过这一轮操作，较大的数挪到了右边，更靠近它们排序后的终止位置。
（2）gap = 4/2 = 2，对间距为2的数排序。共有2组数的间距为2，分别是{4, 2, 8, 6}、{3, 1, 7, 5}。分别做插入排序，例如{4, 2, 8, 6}做插入排序的结果是{2, 4, 6, 8}。在这一轮，每组内的数做插入排序时，有些不需要进入代码第8行的while。例如处理8时，它前面的2、4已经排好序且更小，8不用做什么操作。这就是上一轮gap=4的排序操作带来的好处。
（3）gap = 2/2 = 1，对间距为1的数排序，实际上gap=1的希尔排序就是基本的插入排序。由于前2轮的操作，到这一轮有很多数不用进入代码第8行的while，例如{4, 6, 8}这3个数。即使进入了while，也只需做极少的交换操作，例如处理到{5}时，它前面已经得到{1, 2, 3, 4, 6}，那么{5}只需要插到{6}前面即可。
希尔排序在多大程度上改善了插入排序？可以直接对比两个代码的计算量。定义一个全局变量cnt，在insertion_sort()的while中累加cnt，统计进入了多少次while。输入数列{8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}，分别执行上一节的插入排序和这一节的希尔排序，得插入排序cnt = 28次，希尔排序cnt = 12。希尔排序显然好很多。
根据严格的算法分析，希尔排序的计算复杂度约为 O ( n 1.5 ) O(n^{1.5}) O(n1.5)。当 n = 1 0 5 n = 10^5 n=105时，计算量约3000万次，远远小于 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的100亿次。
最后概况希尔排序的思路。希尔排序是一种基于插入排序的排序算法，它将一个序列分成若干个子序列，对每个子序列使用插入排序，最后再对整个序列使用一次插入排序。函数shell_sort()使用gap对数组进行分组，然后对每个子序列使用插入排序，最后将整个序列使用插入排序。在插入排序的过程中，每次将元素插入到已经排好序的序列中，而这个已经排好序的序列是由前面的插入排序操作得到的，每次操作都相当于将元素插入到一个较小的序列中，因此可以更快地将元素插入到正确的位置上。
Java代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int a[] = new int[100005];
static int n;
public static void insertion_sort(int gap) {
for (int i = gap; i < n; i++){
int key = a[i];
int j = i-1;
while(j >= gap-1 && a[j-gap+1] > key){
a[j+1] = a[j-gap+1];
j -= gap;
}
a[j+1] = key;
}
}
public static void shell_sort() {
for (int gap = n/2; gap > 0; gap /= 2)
insertion_sort(gap);
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = scanner.nextInt();
shell_sort();
for (int i = 0; i < n; i++) System.out.print(a[i] + " ");
}
}
Python代码
def insertion_sort(gap):
global a, n
for i in range(gap, n):
key = a[i]
j = i-1
while j >= gap-1 and a[j-gap+1] > key:
a[j+1] = a[j-gap+1]
j -= gap
a[j+1] = key
def shell_sort():
for gap in range(n//2, 0, -1): insertion_sort(gap)
n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
shell_sort()
for i in range(n): print(a[i], end=" ")
5. 计数排序
计数排序（Counting Sort）是基于哈希思想的一种排序算法，它使用一个额外的数组来统计每个数出现的次数，然后基于次数输出排序后的数组。
以数列a[] = {5,2,7,3,4,3}为例说明计数排序的操作步骤。
（1）找到数列的最大值7，建计数数组cnt[8]；
（2）把数列中的每个数看成cnt[i]的下标i，对应的cnt[i]计数。例如{5}对应cnt[5]=1，{2}对应cnt[2]=1，2个{3}对应cnt[3]=2，等等。
（3）遍历cnt[]，若cnt[i]=k，输出k次i。输出结果就是排序结果。
概况地说，计数排序是一种非比较性的排序算法，它利用元素的值作为键值确定元素在序列中出现的次数，从而实现排序。
C++代码
#include 该函数首先遍历数组，找到数组中的最大值max，然后创建计数数组cnt[]，大小为 max+1，用于存储元素出现的次数。然后遍历数组，把每个数的出现次数存储在计数数组中。最后遍历计数数组，将数组中的元素按照次数从小到大依次输出，从而得到一个有序数组。
计数排序的时间复杂度取决于第12行的for循环，共循环max次，计算量由max决定。
这使得计数排序的应用场景非常狭窄，只适合“小而紧凑”的数列，当所有的数值都不太大，且均匀分布时，计数排序才有好的效果。例如 n = 1 0 5 n=10^5 n=105，且 0 < a [ i ] < 1 0 5 0
如果数列的数值很大，就不适合用计数排序。此时需要创建极大的数组cnt[]，不仅浪费空间，而且计算时间极长。例如对{5, 1 0 9 10^9 109}排序，虽然只有2个数，却需要建长度为 1 0 9 10^9 109=1G的数组，且需要在代码第12行循环 1 0 9 10^9 109次。
代码提交到判题系统，有40%的测试返回Memory Limit Exceeded，说明代码对这40%的测试数据排序时使用的空间超出了内存限制。
Java代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int a[] = new int[100005];
static int n;
public static void counting_sort() {
int i;
int max = a[0];
for (i = 1; i < n; i++)
if (a[i] > max) max = a[i];
int[] cnt = new int[max+1];
for (i = 0; i < n; i++) cnt[a[i]]++;
i = 0;
for (int j = 0; j <= max; j++)
while (cnt[j] > 0){
a[i++] = j;
cnt[j]--;
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = scanner.nextInt();
counting_sort();
for (int i = 0; i < n; i++) System.out.print(a[i] + " ");
}
}
Python代码
def counting_sort():
global a, n
max_num = max(a)
cnt = [0] * (max_num+1)
for i in range(n): cnt[a[i]] += 1
i = 0
for j in range(max_num+1):
while cnt[j] > 0:
a[i] = j
i += 1
cnt[j] -= 1
n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
counting_sort()
for i in range(n): print(a[i], end=" ")
6. 桶排序
桶排序（Bucket sort）是分治思想的应用，它的要点是：
（1）有k个桶，把要排序的n个数尽量均匀分到每个桶中；
（2）要求桶之间也是有序的，即第i个桶内所有的数小于第i+1个桶内所有的数；
（3）在每个桶内部排序；
（4）最后把所有的桶合起来，就是排序的结果。
例如有100个数，这些数的大小在1~100之间，把它们分到10个桶中，第1个桶放1~10内的数，第2个桶放11~20内的数，…，等等。然后分别在每个桶内排序，最后把所有的桶的数合起来输出，就是排序的结果。
为什么分成多个桶然后在各桶内排序，能提高效率？这就是分治的威力，下面做个简单分析。设有一个排序算法，计算复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。把这n个数分到k个桶中，每个桶装 n k \frac{n}{k} kn个数，且第i个桶的所有数小于第i+1个桶的所有数。每个桶内排序的计算量是 n 2 k 2 \frac{n^2}{k^2} k2n2，k个桶的总计算量是 k × n 2 k 2 = n 2 k k\times\frac{n^2}{k^2}=\frac{n^2}{k} k×k2n2=kn2。所以结论是，利用k个桶进行分治，能把原来 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的计算量减少到 O ( n 2 k ) O(\frac{n^2}{k}) O(kn2)，优化了k倍。
不过，桶排序并不是一个简单的算法，它的性能取决于：
（1）桶的数量k。要求k≤n，极端情况下k=n，且一个桶内只有一个数，那么总计算量就减少到了O(n)，达到了最优的计算复杂度。但是太多的桶可能需要大量的存储空间，所以需要设定一个合适的k。
（2）保证桶之间也是有序的，即让第i个桶的所有数小于第i+1个桶的所有数。简单的做法是按数字的大小分到每个桶里。例如数的大小在1~100之间，设置k=10个桶，第1个桶放1~10内的数，第2个桶放11~20内的数，…，等等。这样桶之间就有序了。但是这个简单的方法可能导致分布不均衡，有些桶内数太少，有些桶内数太多。
（3）快速地把n个数分开放到k个桶中。桶排序的总时间包括两部分：把n个数分到k个桶的时间，以及分别在k个桶内排序的时间。如果前者耗时太长，也影响桶排序的性能。
（4）均匀地把n个数分开放到k个桶中。只有均匀分布，才能发挥分治的威力。而极端情况下，有可能所有的数都分到了1个桶里，其他桶都是空的，等于没有分桶。例如100个数，第1个数是1，其他数都在90~100之间，把这100个数分到10个桶里，第1个桶放1~10的数，第2个桶放11~20内的数，…，第10个桶放90~100的数，那么结果是第1个桶内有1个数，第10个桶有99个数，其他桶是空的。这样的分桶毫无意义。所以需要设计一个合理的分桶算法。
（5）桶内排序。在桶内的排序，选用适合的算法会更高效。
由于上述原因，桶排序不是一个简单的算法，而是多个技术的综合，所以本节没有给出代码。
上一节的计数排序可以看作桶排序的一个特例，此时k远远大于n，大部分桶是空的。
7. 基数排序
基数排序（Radix sort）是一种非比较性的排序算法，它不是直接比较各数据的大小，而是按照数据的位数依次进行排序。
“基数”指的是每个元素的进制位上的取值范围。例如，对于十进制数，每个元素的进制位上的取值范围是0~9，因此基数为10；对于二进制数，每个元素的进制位上的取值范围是0~1，因此基数为2。
有两种基数排序：最低位优先法 (LSD, Least Significant Digit first)、最高位优先法 (MSD, Most Significant Digit first)。这里介绍较为简单的LSD基数排序。
LSD基数排序是一种反常识的排序方法，它不是先比较高位再比较低位，而是反过来，先比较低位再比较高位。例如排序{5, 47, 23, 19, 17, 31}。
第1步：先按个位的大小排序，得到{31, 23, 05, 47, 17, 19}。
第2步：再按十位的大小排序，得到{05, 17, 19, 23, 31, 47}。其中5只有个位，把它的十位补0。基数排序需要将所有待比较的数值统一为同样的数位长度，如果某些数的位不够，在前面补零即可。
因为所有数字中最大的只有两位，所以只需2步就结束，得到有序排列。
更特别的是，上述操作并不是用比较的方法得到的，而是用“哈希”的思路：直接把数字放到对应的“桶”里。有10个桶，分别标记为0~9。第1步按个位的数字放，第2步按十位的数字放。下表中第2步得到的序列就是结果。
基数排序的复杂度：n个数，每个数有d位（例如上面例子的17 ~ 47，都是2位数），每一位有k种可能（十进制，0~9共十种情况）。复杂度是O(d*(n+k))，存储空间是O(n+k)。例如对长度10000的字符串进行一次后缀排序，n = 10000，d ≤ 5，k = 10，复杂度d*(n+k) ≈ 10000*5。而一次快排的复杂度nlogn ≈ 10000*13。
对比快速排序等排序方法，基数排序在d比较小的情况下，即所有的数字差不多大时，是更好的方法。如果d比较大，基数排序并不比快速排序更好。
LSD基数排序也可以看成桶排序的一个特例，上面处理十进制的0~9，基数为10，就是10个桶。
当基数为其他数值时，桶的数量也不同。例如：
（1）把数字看成二进制，每一位是0~1，基数为2，有2个桶。
（2）把数字看成二进制，并且把它按每16位划分，例如数字0xE1BE13DC34，划分成00E1-BE13-DC34，16位二进制范围0~65535，基数为65536，有65536个桶。这样做的好处是可以用位操作来处理，速度稍快一些。
（3）对字符串排序，一个字符串的一个字符是char型，8位二进制范围0~255，基数256，就是256个桶。
下面给出例题的LSD基数排序的代码。函数radix_sort()首先遍历数组，找到数组中的最大值max，然后使用exp记录当前排序的位数，从个位开始，依次按照位数进行排序，直到最高位。在每次排序中，使用计数排序的方法，将元素分配到桶中，然后按照桶的顺序将元素重新排序。最后将排序后的数组复制到原数组中。
C++代码
#includeJava代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int a[] = new int[100005];
static int tmp[] = new int[100005];
static int n;
public static void radix_sort() {
int exp = 1;
int max = a[0];
for (int i = 1; i < n; i++)
if (a[i] > max) max = a[i];
while (max / exp > 0) {
int bucket[] = new int[10];
for (int i = 0; i < n; i++) bucket[(a[i] / exp) % 10]++;
for (int i = 1; i < 10; i++) bucket[i] += bucket[i-1];
for (int i = n-1; i >= 0; i--) {
int k = (a[i] / exp) % 10;
tmp[bucket[k]-1] = a[i];
bucket[k]--;
}
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = tmp[i];
exp *= 10;
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = scanner.nextInt();
radix_sort();
for (int i = 0; i < n; i++) System.out.print(a[i] + " ");
}
}
Python代码
def radix_sort():
global a, n
exp = 1
max_num = max(a)
tmp = [0] * len(a)
while max_num // exp > 0:
bucket = [0] * 10
for i in range(n): bucket[(a[i] // exp) % 10] += 1
for i in range(1, 10): bucket[i] += bucket[i-1]
for i in range(n-1, -1, -1):
k = (a[i] // exp) % 10
tmp[bucket[k]-1] = a[i]
bucket[k] -= 1
for i in range(n): a[i] = tmp[i]
exp *= 10
n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
radix_sort()
for i in range(n): print(a[i], end=" ")
基数排序的计算复杂度证明，参考《算法导论》：
8. 归并排序
归并排序（Merge sort）和下一小节的快速排序是分治法思想的应用，极为精美。学习它们，对于理解分治法、提高算法思维能力，十分有帮助。
先思考一个问题：如何用分治思想设计排序算法？
根据分治法的分解、解决、合并三步骤，具体思路如下：
（1）分解。把原来无序的数列，分成两部分；对每个部分，再继续分解成更小的两部分……在归并排序中，只是简单地把数列分成两半。在快速排序中，是把序列分成左右两部分，左部分的元素都小于右部分的元素；分解操作是快速排序的核心操作。
（2）解决。分解到最后不能再分解，排序。
（3）合并。把每次分开的两个部分合并到一起。归并排序的核心操作是合并，其过程类似于交换排序。快速排序并不需要合并操作，因为在分解过程中，左右部分已经是有序的。
下图的例子给出了归并排序的操作步骤。初始数列经过3趟归并之后，得到一个从小到大的有序数列。
归并排序的主要操作：
（1）分解。把初始序列分成长度相同的左右两个子序列，然后把每个子序列再分成更小的两个子序列……，直到子序列只包含1个数。这个过程用递归实现，上图中的第一行是初始序列，每个数是一个子序列，可以看成递归到达的最底层。
（2）求解子问题，对子序列排序。最底层的子序列只包含1个数，其实不用排序。
（3）合并。归并两个有序的子序列，这是归并排序的主要操作，过程如下图。例如图 (1)中， i和j分别指向子序列{13, 94, 99}和{34, 56}的第1个数，进行第一次比较，发现a[i] < a[j]，把a[i]放到临时空间b[]中。总共经过四次比较，得到b[] = {13, 34 ,56, 94, 99}。
下面分析归并排序的计算复杂度。对n个数进行归并排序：（1）需要logn趟归并；（2）在每一趟归并中，有很多次合并操作，一共需要O(n)次比较。总计算复杂度是O(nlogn)。
空间复杂度：由于需要一个临时的b[]存储结果，所以空间复杂度是O(n)。
C++代码
#includeJava代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int a[] = new int[100005];
static int b[] = new int[100005];
static int n;
public static void Merge(int L, int mid, int R){
int i=L, j = mid+1, t=0;
while(i <= mid && j <= R){
if(a[i] > a[j]) b[t++] = a[j++];
else b[t++]=a[i++];
}
while(i <= mid) b[t++]=a[i++];
while(j <= R) b[t++]=a[j++];
for(i=0; i<t; i++) a[L+i] = b[i];
}
public static void Mergesort(int L, int R){
if(L<R){
int mid = (L+R)/2;
Mergesort(L, mid);
Mergesort(mid+1, R);
Merge(L, mid, R);
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = scanner.nextInt();
Mergesort(0,n-1);
for (int i = 0; i < n; i++) System.out.print(a[i] + " ");
}
}
Python代码
def Merge(L, mid, R):
global a, b
i=L
j = mid+1
t=0
while(i <= mid and j <= R):
if(a[i] > a[j]):
b[t] = a[j]
j += 1
else:
b[t] = a[i]
i += 1
t += 1
while(i <= mid):
b[t] = a[i]
i += 1
t += 1
while(j <= R):
b[t] = a[j]
j += 1
t += 1
for i in range(t): a[L+i] = b[i]
def Mergesort(L, R):
if L < R:
mid = (L+R)//2
Mergesort(L, mid)
Mergesort(mid+1, R)
Merge(L, mid, R)
n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
b = [0] * len(a)
Mergesort(0,n-1)
for i in range(n): print(a[i], end=" ")
9. 快速排序
上一节提到，快速排序（Quick sort）和归并排序都是分治法的应用。
快速排序的思路是：把序列分成左右两部分，使得左边所有的数都比右边的数小；递归这个过程，直到不能再分为止。如何把序列分成左右两部分？最简单的办法是设定两个临时空间X、Y和一个基准数t；检查序列中所有的元素，比t小的放在X中，比t大的放在Y中。不过，其实不用这么麻烦，直接在原序列上操作就行了，不需要使用临时空间X、Y。
直接在原序列上进行划分的方法有很多种，下面的图示介绍了一种很容易操作的方法：
下面分析复杂度。
每一次划分，都把序列分成了左右两部分，在这个过程中，需要比较所有的元素，有O(n)次。如果每次划分是对称的，也就是说左右两部分的长度差不多，那么一共需要划分O(logn)次。总复杂度O(nlogn)。
如果划分不是对称的，左部分和右部分的数量差别很大，那么复杂度会高一些。在极端情况下，例如左部分只有1个数，剩下的全部都在右部分，那么最多可能划分n次，总复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。所以，快速排序的效率和数据本身有关。
不过，一般情况下快速排序效率很高，甚至比归并排序更好。读者可以观察到，下面给出的快速排序的代码比归并排序的代码更简洁，代码中的比较、交换、拷贝操作很少。 快速排序几乎是目前所有排序法中速度最快的方法。STL的sort()函数就是基于快速排序算法的，并针对快速排序的缺点做了很多优化。
C++代码
#includeJava代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int[] a = new int[100005];
static int n;
public static void qsort(int L, int R) {
int i = L, j = R;
int key = a[(L + R) / 2];
while (i <= j) {
while (a[i] < key) i++;
while (a[j] > key) j--;
if (i <= j) {
int temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
i++;
j--;
}
}
if (j > L) qsort(L, j);
if (i < R) qsort(i, R);
}
public static void main(String[] args) {
Scanner input = new Scanner(System.in);
n = input.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = input.nextInt();
qsort(0, n - 1);
for (int i = 0; i < n; i++) System.out.print(a[i] + " ");
}
}
Python代码
def qsort(L, R):
i, j = L, R
key = a[(L + R) // 2]
while i <= j:
while a[i] < key: i += 1
while a[j] > key: j -= 1
if i <= j:
a[i], a[j] = a[j], a[i]
i += 1
j -= 1
if j > L: qsort(L, j)
if i < R: qsort(i, R)
n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
qsort(0,n-1)
for i in range(n): print(a[i], end=" ")
10. 堆排序
堆排序（heap sort）利用二叉堆的属性来排序。二叉堆是一棵二叉树，如果是一棵最小堆，那么树根是最小值。把树根取出后，新的树根仍然是剩下的树上的最小值。首先把需要排序的n个数放进二叉堆，然后依次取出树根，就从小到大排好了序。由于把数放进二叉堆和取出二叉堆，计算复杂度都是O(logn)的，所以n个数的总复杂度是O(nlogn)的。
由于自己编程实现二叉堆比较麻烦，这里直接使用优先队列。优先队列是用二叉堆实现的。
C++代码
#includeJava代码
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner input = new Scanner(System.in);
int n = input.nextInt();
PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<Integer>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
int a = input.nextInt();
pq.offer(a);
}
while (!pq.isEmpty())
System.out.print(pq.poll() + " ");
}
}
Python代码
import queue
n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
pq = queue.PriorityQueue()
for i in range(n): pq.put(a[i])
while not pq.empty(): print(pq.get(), end=' ')