二分算法（整数二分、浮点数二分）

二分

一、整数二分

（一）整数二分思路

（二）整数二分算法模板

1.左查找（寻找左侧边界）

• 查找的情况分为三种：
  • 当a[mid]>2时，r=mid-1，l不变
  • 当a[mid]<2时，l=mid+1，r不变
  • 当a[mid]==2时，如果我们一找到就返回，那么，返回的结果将会是下标4，此时并不是目标值

​ 因此，我们需要向左缩小区间

• 向左缩小区间：就是令r=mid，l不变；此时区间变为[0,4],既保证了下标为4的2保留在区间里，又保证可以继续查找[0,4]中是否还有数字2，如果[0,3]中没有数字2了，则下标4就会是该区间唯一一个满足条件的值，也就会是最终结果。而如果[0,3]中还有其他的2，就如本例，那么下标为4的数字就会被下一次缩小区间所抛弃。

• 这里模拟一下样例：
  
  最后l == r退出循环。此时如果r就是最终结果，那么l同时也是最终结果。另一种退出循环的方式就是l>r，l跑到r的右边，那么不管怎么说，l都不可能是最终目标。因此最后只用判断r是否是最终目标就好了。

• 判断r是否是x：如果退出循环后a[r]==x，说明找到了x，并且这个x是左边界的x；如果a[r]!=x，说明连x都找不到，返回-1；

• 结果如下：

void query_l(int a)
{
    int l=0,r=n-1;
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(arr[mid]==a)		r=mid;
        else if(arr[mid]>a)	r=mid-1;
        else				l=mid+1;
    }
    if(arr[l]==a)	cout<<r<<" ";
    else cout<<-1<<" ";
}

我们可以将等于和大于的情况合二为一，因为不管怎样最终都是要判断r是否为目标值的。所以，升级后的代码如下。

void query_l(int a)
{
    int l=0,r=n-1;
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(arr[mid]>=a)	r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    if(arr[l]==a)	cout<<r<<" ";
    else	cout<<-1<<" ";
}

2.右查找（寻找右侧边界）

• 右查找就是要找到最后出现的值，不断向右缩小区间。分析过程与左查找类似。
• 需要注意的一点，右查找和左查找确定mid值的方式不同。左查找采用（l+r）/2向下取整的方式，右查找采用（l+r+1）/2向上取整的方式。
• 原因分析：
• 对于左查找：假设l=2，r=3，向下取整得到的mid=(2+3+1)/2=3，若取r=mid，那么l和r任保持原值不变，陷入死循环。
• 对于右查找：假设l=2，r=3，向下取整得到mid=(2+3)/2=2。若取l=mid，那么l和r任保持原值不变，陷入死循环。
  

void query_r(int a)
{
    int l=0,r=n-1;
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r+1)/2;
        if(arr[mid]<=a)	l=mid;
        else			r=mid-1;
    }
    if(arr[r]==a)	cout<<r;
    else	cout<<-1;
}

3.总模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

（三）题目：数的范围

给定一个按照升序排列的长度为 n的整数数组，以及 q个查询。对于每个查询，返回一个元素 k的起始位置和终止位置（位置从 0开始计数）。如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式
第一行包含整数 n和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n个整数（均在 1∼10000范围内），表示完整数组。

接下来 q行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式
共 q行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

#include
using namespace std;
const int N = 100010;

int n,m;
int q[N];

int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=0;i<n;i++)
		scanf("%d",&q[i]);
	
	while(m--)
	{
		int x;
		scanf("%d",&x);
		int l=0,r=n-1;
		while(l<r)
		{
			int mid=(l+r)/2;
			if(q[mid]>=x)
				r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		if(q[l]!=x)
			cout<<"-1 -1"<<endl;
		else
		{
			cout<<l<<" ";
			int l=0,r=n-1;
			while(l<r)
			{
				int mid=(l+r+1)/2;
				if(q[mid]<=x)
					l=mid;
				else
					r=mid-1;
			}
			cout<<l<<endl;
		}
		
	}
	return 0;
}

二、浮点数二分

（一）浮点数二分思路

思路和整数二分一样，区别是浮点型二分不需要注意边界问题（也就是不需要+1）

（二）浮点数二分算法模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

（三）题目：数的三次方根

题目描述

给定一个浮点数n，求它的三次方根。

输入格式
共一行，包含一个浮点数n。

输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留6位小数。

数据范围
−10000≤n≤10000

输入样例：

1000.00

输出样例：

10.000000

#include
using namespace std;
int main()
{
    double x;
    cin>>x;
    double l=-100,r=100;//根据题目范围 开三次方根 估计答案大概范围
    while(r-l>1e-8)
    {
        double mid=(l+r)/2;
        if(mid*mid*mid>=x)
            r=mid;
        else
            l=mid;
    }
    printf("%.6lf\n",l);
    return 0;
}