1295：装箱问题

【算法分析】

动态规划：01背包问题

1. 状态定义

状态定义：dp[i][j]：在前i个物品中选择物品放入大小为j的箱子的各种方案中剩余空间最小的方案的剩余空间。

初始状态：

将i个物品放入大小为0的箱子，剩余空间只能为0。所以dp[i][0] = 0。

将0个物品放入大小为j的箱子，剩余空间只能为j。所以dp[0][j] = j。

2. 状态转移方程

记第i个物品的体积为a[i]。

集合：在前i个物品中选择物品放入大小为j的箱子的各种方案。

依据第i物品是否放入箱子来分割集合。

子集1：不把第i物品放入箱子。那么只能在前i-1个物品中选择物品放入大小为j的箱子。在前i个物品中选择物品放入大小为j的箱子的最小剩余空间即为：在前i-1个物品中选择物品放入大小为j的箱子的最小剩余空间。即dp[i][j] = dp[i-1][j]。

子集2：在可以将第i物品放入箱子的前提下，确定把第i物品放入箱子，那么箱子剩余空间为j-a[i]。接下来要在前i-1个物品中选择物品放入大小为j-a[i]的箱子。此时在前i个物品中选择物品放入大小为j的箱子的最小剩余空间为：在前i-1个物品中选择物品放入大小为j-a[i]的箱子的最小剩余空间，即dp[i][j] = dp[i-1][j-a[i]]。

以上两种情况取最小值。

【参考代码】

解法一：二维数组

#include
using namespace std;
#define N 35
#define V 20005
int v, n, dp[N][V], a[N];//dp[i][j]：在前i个物品中选择物品放入大小为j的箱子的方案中剩余空间最小的方案的剩余空间
int main()
{
    cin >> v >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> a[i];//a[i]：第i物品的体积 
    for(int j = 0; j <= v; ++j)//设初值，前0个物品放入大小为j的箱子，剩余空间为j 
        dp[0][j] = j;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 0; j <= v; ++j)
        {
            if(j >= a[i])
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-a[i]]);
            else
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
        }
    cout << dp[n][v];
    return 0;
}

解法二：滚动数组优化 一维状态

#include
using namespace std;
#define N 35
#define V 20005
int dp[V], a[N];//dp[i][j]：在前i个物品中选择物品放入大小为j的箱子的方案中剩余空间最小的方案的剩余空间
int main()
{
    int v, n;
    cin >> v >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
         cin >> a[i];//a[i]：第i物品的体积 
    for(int j = 1; j <= v; ++j)//设初值，前0个物品放入大小为j的箱子，剩余空间为j 
        dp[j] = j;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = v; j >= a[i]; --j)
            dp[j] = min(dp[j], dp[j-a[i]]);
    cout << dp[v];
    return 0;
}