数值分析总结

数值分析总结思维导图

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相关代码的使用和注释

       列主元Gauss消元法

%%列主元高斯消元法
function x=Gauss_lzy(A,b)%A为方程组系数矩阵，b为方程组的右侧向量，x为方程组的解
[n,m]=size(A);%%得到矩阵A的行和列的宽度
nb=length(b);%%方程组右侧向量的长度
if n~=m%%如果系数矩阵的行数和方程组右侧向量的长度不相等，错误
    error('%系数矩阵必须是方的');
end
if m~=nb%%方程的变量数和方程右侧向量的长度不相等，错误
    error('%b的维数与方程的行数不匹配!');
end
for k=1:n-1%%执行n-1次选主元的过程，就可以选完所有，最后剩下的一个直接处理，也表示列
    %选主元
    a_max=0;%%先定义一个最大值
    for i=k:n%%从当前行开始到最后一行选主元
        if abs(A(i,k))>a_max%%如果遇到比当前最大值大的直接记录作为主元
            a_max=abs(A(i,k));
            r=i;%%同时记录下它的行数
        end
    end
    if a_max<1e-15%%如果记录的主元小于1e-5，错误
        error('%系数矩阵奇异，无法匹配方程组');
    end
    %交换两行
    if r>k%%如果主元所在的行不是当前行，需要交换左侧和右侧
        for j=k:n
            z=A(k,j);
            A(k,j)=A(r,j);
            A(r,j)=z;
        end
        z=b(k);
        b(k)=b(r);
        b(r)=z;
    end
    %消元过程
    for i=k+1:n%%从当前行的下一行开始消元
        m=A(i,k)/A(k,k);
        for j=k+1:n
            A(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);
        end
        b(i)=b(i)-m*b(k);
    end
end
%回代过程
if abs(A(n,n))<1e-15
    error('%系数矩阵奇异，无法求解方程组');
end
x=zeros(size(b));
for k=n:-1:1%%从最后一行开始回代
    for j=k+1:n
        b(k)=b(k)-A(k,j)*x(j);
    end
    x(k)=b(k)/A(k,k);
end

       Jacobi迭代法

%%Jacobi迭代法
function x=Jacobi(A,b,x0,eps)
D=diag(diag(A));%%将矩阵A的对角元素提取出来
D=inv(D);%%转置
L=tril(A,-1);%%提取矩阵A的下三角
U=triu(A,1);%%提取矩阵A的上三角
B=-D*(L+U);%%雅可比迭代公式
f=D*b;
k=0;
x0=x0;
x=B*x0+f;%%迭代公式
fprintf('k x1_(k) x2_(k) x3_(k)\n');
fprintf('%2d %4.0f %4.0f %4.0f\n',k,x0);
while norm(x-x0)>=eps%%没有到达指定的误差值之前执行循环，不断迭代
    x0=x;
    x=B*x0+f;
    k=k+1;
    fprintf('%2d %4.0f %4.0f %4.0f\n',k,x0);
end

       Gauss-Seidel迭代法

%%Gauss-seidel迭代法
function x=GaussSeidel(A,b,x0)%%和Jacobi迭代同样的思路，只是公式发生了变化
D=diag(diag(A));
L=tril(A,-1);
C=inv(D+L);
U=triu(A,1);
B=-C*U;
f=C*b;
i=0;
x0=x0;
x=B*x0+f;
fprintf('k x1_(k) x2_(k) x3_(k)\n');
fprintf('%2d %4.0f %4.0f %4.0f\n',k,x0);
for i=1:10
    x0=x;
    x=B*x0+f;
    fprintf('%2d %4.0f %4.0f %4.0f\n',k,x0);
end

         二分法

function x = bisectionMethod(A, b, tol)
    [n, m] = size(A);
    nb = length(b);
    
    if n ~= m
        error('系数矩阵必须是方的');
    end
    
    if m ~= nb
        error('b的维数与方程的行数不匹配!');
    end
    
    % 定义二分法的初始下界和上界
    lower_bound = -1e6;
    upper_bound = 1e6;
    
    % 设置二分法的最大迭代次数
    max_iterations = 1000;
    
    % 循环执行二分法迭代
    for k = 1:max_iterations
        lambda = (lower_bound + upper_bound) / 2; % 计算当前迭代的 lambda 值
        
        % 解上界对应的方程组并计算残差
        x_upper = GaussianElimination(A - lambda * eye(n), b);
        residual_upper = norm(A * x_upper - lambda * x_upper - b);
        
        % 解下界对应的方程组并计算残差
        x_lower = GaussianElimination(A - lower_bound * eye(n), b);
        residual_lower = norm(A * x_lower - lower_bound * x_lower - b);
        
        % 判断是否满足终止条件
        if abs(residual_upper - residual_lower) < tol
            break;
        end
        
        % 更新下界和上界
        if residual_upper > residual_lower
            upper_bound = lambda;
        else
            lower_bound = lambda;
        end
    end
    
    % 返回最终二分法得到的解
    x = x_upper;
end


function x = GaussianElimination(A, b)
    [n, m] = size(A);
    nb = length(b);
    
    if n ~= m
        error('系数矩阵必须是方的');
    end
    
    if m ~= nb
        error('b的维数与方程的行数不匹配!');
    end
    
    % 高斯消元过程
    for k = 1:n-1
        % 选主元
        a_max = abs(A(k, k));
        r = k;
        for i = k:n
            if abs(A(i, k)) > a_max
                a_max = abs(A(i, k));
                r = i;
            end
        end
        
        if a_max < 1e-15
            error('系数矩阵奇异，无法匹配方程组');
        end
        
        % 交换两行
        if r > k
            temp = A(k, :);
            A(k, :) = A(r, :);
            A(r, :) = temp;
            
            temp = b(k);
            b(k) = b(r);
            b(r) = temp;
        end
        
        % 消元过程
        for i = k+1:n
            m = A(i, k) / A(k, k);
            for j = k+1:n
                A(i, j) = A(i, j) - m * A(k, j);
            end
            b(i) = b(i) - m * b(k);
        end
    end
    
    % 回代过程
    if abs(A(n, n)) < 1e-15
        error('系数矩阵奇异，无法求解方程组');
    end
    
    x = zeros(size(b));
    for k = n:-1:1
        for j = k+1:n
            b(k) = b(k) - A(k, j) * x(j);
        end
        x(k) = b(k) / A(k, k);
    end
end

          Newton法

%%Newton法
function x=Newton(fname,dfname,x0,e,N)
%%fname和dfname分别表示f(x)及其导函数的M函数句柄或内嵌函数表达式
if nargin<5,N=500;
end
if nargin<4,e=1e-4;
end
x=x0;
x0=x+2*e;
k=0;
while abs(x0-x)>e&k

          Lagrange插值

%%Lagrange插值
function yy=Lagrange(x,y,xi)
m=length(x);%%自变量的长度
n=length(x);%%因变量的长度
if m~=n
    error('向量x与y的长度必须一致');
end
s=0;
for i=1:n
    z=ones(1,length(xi));%%建立一个预备数组
    for j=1:n
        if j~=i
            z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));//%%Lagrange插值公式
    end
end
s=s+z*y(i);
end
yy=s;