损失函数MSE和MAE的区别以及如何选择

1、均方误差(L2损失)

均方误差(MSE)是最常用的回归损失函数,计算方法是求预测值与真实值之间距离的平方和,公式如下:

M S E = 1 m ∑ m i = 1 ( y i − y ^ i ) 2 MSE=\frac{1}{m} \sum_{m}^{i=1}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2} MSE=m1mi=1(yiy^i)2

下图是MSE函数的图像,其中目标值是100,预测值的范围从-10000到10000,Y轴代表的MSE取值范围是从0到正无穷,并且在预测值为100处达到最小。通过数值模拟,平均绝对值误差的形状如下:

损失函数MSE和MAE的区别以及如何选择_第1张图片

2、平均绝对值误差(L1损失)

M A E = 1 m ∑ m i = 1 ∣ ( y i − y ^ i ) ∣ MAE=\frac{1}{m} \sum_{m}^{i=1}\left|\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)\right| MAE=m1mi=1(yiy^i)

平均绝对误差(MAE)是另一种用于回归模型的损失函数。MAE是目标值和预测值之差的绝对值之和。其只衡量了预测值误差的平均模长,而不考虑方向,取值范围也是从0到正无穷(如果考虑方向,则是残差/误差的总和——平均偏差(MBE))。

损失函数MSE和MAE的区别以及如何选择_第2张图片
3、MSE(L2损失)与MAE(L1损失)的比较

简单来说,MSE计算简便,但MAE对异常点有更好的鲁棒性。下面就来介绍导致二者差异的原因。

训练一个机器学习模型时,我们的目标就是找到损失函数达到极小值的点。 当预测值等于真实值时,这两种函数都能达到最小。

下面是这两种损失函数的python代码。你可以自己编写函数,也可以使用sklearn内置的函数。

# true: Array of true target variable
# pred: Array of predictions
def mse(true, pred):
    return np.sum((true - pred)**2)/len(true)
def mae(true, pred):
    return np.sum(np.abs(true - pred))/len(true)
# also available in sklearn
# from sklearn.metrics import mean_squared_errorfrom 
# sklearn.metrics import mean_absolute_error

下面让我们观察MAE和RMSE(即MSE的平方根,同MAE在同一量级中)在两个例子中的计算结果。第一个例子中,预测值和真实值很接近,而且误差的方差也较小。第二个例子中,因为存在一个异常点,而导致误差非常大。

损失函数MSE和MAE的区别以及如何选择_第3张图片
4、MSE与MAE各自的优缺点

1、MSE对误差取了平方(令e=真实值-预测值),因此若e>1,则MSE会进一步增大误差。如果数据中存在异常点,那么e值就会很大,而e则会远大于|e|。因此,相对于使用MAE计算损失,使用MSE的模型会赋予异常点更大的权重。在第二个例子中,用RMSE计算损失的模型会以牺牲了其他样本的误差为代价,朝着减小异常点误差的方向更新。然而这就会降低模型的整体性能。如果训练数据被异常点所污染,那么MAE损失就更好用(比如,在训练数据中存在大量错误的反例和正例标记,但是在测试集中没有这个问题)。

2、直观上可以这样理解:如果我们最小化MSE来对所有的样本点只给出一个预测值,那么这个值一定是所有目标值的平均值。但如果是最小化MAE,那么这个值,则会是所有样本点目标值的中位数。众所周知,对异常值而言,中位数比均值更加鲁棒,因此MAE对于异常值也比MSE更稳定。

3、MAE存在一个严重的问题(特别是对于神经网络):更新的梯度始终相同,也就是说,即使对于很小的损失值,梯度也很大。这样不利于模型的学习。为了解决这个缺陷,我们可以使用变化的学习率,在损失接近最小值时降低学习率。而MSE在这种情况下的表现就很好,即便使用固定的学习率也可以有效收敛。MSE损失的梯度随损失增大而增大,而损失趋于0时则会减小。这使得在训练结束时,使用MSE模型的结果会更精确。

5、MSE与MAE如何选择

如果异常点代表在商业中很重要的异常情况,并且需要被检测出来,则应选用MSE损失函数。相反,如果只把异常值当作受损数据,则应选用MAE损失函数。总的来说,处理异常点时,MAE损失函数更稳定,但它的导数不连续,因此求解效率较低。MSE损失函数对异常点更敏感,但通过令其导数为0,可以得到更稳定的封闭解。

当两者问题同时存在时,就需要考虑其他的更合适的损失函数了,如Huber损失(平滑的平均绝对误差)、Log-Cosh损失、分位数损失等,详见:

机器学习大牛最常用的5个回归损失函数,你知道几个?

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