MIT_线性代数笔记:第 11 讲矩阵空间、秩 1 矩阵和小世界图

目录

  • 新的向量空间 New vector spaces
  • 微分方程 Differential equations
  • 秩 1 矩阵 Rank one matrices
  • 小世界图 Small world graphs

扩展一下向量空间的含义。

新的向量空间 New vector spaces

3X3 矩阵空间 3 by 3 matrices
空间 M 是所有 33 矩阵所构成的空间,M 的部分子空间包括:
• 所有的上三角阵,记为 U。
• 所有的对称阵,记为 S。
• 所有的对角阵,记为 D,它是前两个子空间的交集。
空间 M 的维数为 9,与 R9空间很类似。我们可以选定它的一组基:
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显然最终结果并不在两者的并集中。 这就如同在 R 2 R^2 R2空间中找出两条直线,询问它们的并集是否构成一个子空间。如果我们将S和U中所有元素可能构成的加和作为一个集合,可以称为和集S + U,它是M 的一个子空间。 实际上S + U 就是 M 本身,其维数为 9。
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微分方程 Differential equations

在这里插入图片描述

秩 1 矩阵 Rank one matrices

在这里插入图片描述

所有的秩 1 矩阵都可分解 A=U V T V^T VT,其中 U 和 V 都是列向量。秩 1 矩阵的行列式和特征值都很简单,它可以被当作是构建其他矩阵的“积木”。其实我们在矩阵乘法的第四种形式里面见过它的作用。如果存在一个 5x17 的矩阵 M,而其秩为 4,那么它可以由 4 个秩 1 矩阵组合而成。
若矩阵空间 M 为所有的 5x17 矩阵,那么 M 中所有的秩 4 矩阵所构成的集合是一个子空间么?答案是否定的,即使加入零矩阵也无法构成子空间,对于两个矩阵的加和,秩 4 矩阵集合并不封闭。
两个矩阵之和的秩小于等于两个矩阵的秩之和。
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本例的一个意义就是寻找子空间维数的逆向思路,可以考虑它是不是某个方程的解空间,在这里它是矩阵 A=[1 1 1 1 ]的零空间,我们可以从矩阵推出这个空间的维数。
矩阵 A 的列空间为 R1。左零空间仅包含零向量,维数为 0。

小世界图 Small world graphs

介绍小世界图主要是引出图论和线性代数的联系。
在这里,“图”G 是结点和边的集合:G={结点(nodes),边(edges)}
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我们可以用图来描述一个实际问题,如果每个人是一个结点,两个人互相认识为一个边,那么整个美国可以以此构成一张大图。我们可以通过这张图来确认两个人之间的最短距离是多少,即两个人需要通过最少几个朋友才能建立联系。G 本人和克林顿之间的距离为 2,他的一个朋友是参议员,他认识这个参议员朋友,那个人认识克林顿。班里的学生跟克林顿的距离因此不会大于 3。还可以继续算希拉里和莱温斯基……
所谓“六度分割理论”(six degrees of separation)猜想一个人和陌生人之间间隔的点不会超过六个。因此当陌生的两人聊起这种联系都会感叹:“世界真小啊!”
这也是“小世界图”这个名字的由来。

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