MIT_线性代数笔记：第 11 讲矩阵空间、秩 1 矩阵和小世界图

扩展一下向量空间的含义。

新的向量空间 New vector spaces

3X3 矩阵空间 3 by 3 matrices
空间 M 是所有 33 矩阵所构成的空间，M 的部分子空间包括：
• 所有的上三角阵，记为 U。
• 所有的对称阵，记为 S。
• 所有的对角阵，记为 D，它是前两个子空间的交集。
空间 M 的维数为 9，与 R9空间很类似。我们可以选定它的一组基：

显然最终结果并不在两者的并集中。 这就如同在$R^2$空间中找出两条直线，询问它们的并集是否构成一个子空间。如果我们将S和U中所有元素可能构成的加和作为一个集合，可以称为和集S + U，它是M 的一个子空间。 实际上S + U 就是 M 本身，其维数为 9。

微分方程 Differential equations

秩 1 矩阵 Rank one matrices

所有的秩 1 矩阵都可分解 A=U$V^T$，其中 U 和 V 都是列向量。秩 1 矩阵的行列式和特征值都很简单，它可以被当作是构建其他矩阵的“积木”。其实我们在矩阵乘法的第四种形式里面见过它的作用。如果存在一个 5x17 的矩阵 M，而其秩为 4，那么它可以由 4 个秩 1 矩阵组合而成。
若矩阵空间 M 为所有的 5x17 矩阵，那么 M 中所有的秩 4 矩阵所构成的集合是一个子空间么？答案是否定的，即使加入零矩阵也无法构成子空间，对于两个矩阵的加和，秩 4 矩阵集合并不封闭。
两个矩阵之和的秩小于等于两个矩阵的秩之和。

本例的一个意义就是寻找子空间维数的逆向思路，可以考虑它是不是某个方程的解空间，在这里它是矩阵 A=[1 1 1 1 ]的零空间，我们可以从矩阵推出这个空间的维数。
矩阵 A 的列空间为 R1。左零空间仅包含零向量，维数为 0。

小世界图 Small world graphs

介绍小世界图主要是引出图论和线性代数的联系。
在这里，“图”G 是结点和边的集合：G=｛结点（nodes），边（edges）｝

我们可以用图来描述一个实际问题，如果每个人是一个结点，两个人互相认识为一个边，那么整个美国可以以此构成一张大图。我们可以通过这张图来确认两个人之间的最短距离是多少，即两个人需要通过最少几个朋友才能建立联系。G 本人和克林顿之间的距离为 2，他的一个朋友是参议员，他认识这个参议员朋友，那个人认识克林顿。班里的学生跟克林顿的距离因此不会大于 3。还可以继续算希拉里和莱温斯基……
所谓“六度分割理论”（six degrees of separation）猜想一个人和陌生人之间间隔的点不会超过六个。因此当陌生的两人聊起这种联系都会感叹：“世界真小啊！”
这也是“小世界图”这个名字的由来。