第七章 函数矩阵

和矩阵函数不同的是，函数矩阵本质上是一个矩阵，是以函数作为元素的矩阵。
矩阵函数本质上是一个矩阵，是以矩阵作为自变量的函数。
函数矩阵和数字矩阵的运算法则完全相同。
不过矩阵的元素$a_{ij}(x)$ 需要是闭区间$[a,b]$上的实函数。

可逆：

$A(x)B(x)=B(x)A(x)=I$
$B(x)是A(x)的逆矩阵$，记为$A^{-1}(x)$

$$\begin{gathered} 若A(x)的元素a_{ij}(x)在x=x_0点均有极限a_{ij}, \\ 则A(x)有极限,记为\underset{x\to x_0}{\lim }A(x)=A(x_0)。 \end{gathered}$$
则下面的等式成立
$$\begin{array}{rl}& （1）\underset{x\to x_0}{\lim }(A(x)\pm B(x))=A\pm B\\ & （2）\underset{x\to x_0}{\lim }(kA(x))=kA\\ & （3）\underset{x\to x_0}{\lim }(A(x)B(x))=AB\end{array}$$

看上去没有特别的地方，就是对每个元素进行求导积分即可。只是需要注意矩阵没有交换律。

积分的运算也差不多，对每个函数分别积分就行了。

线性向量微分方程

线性向量就是指的 n 阶常数矩阵 A。
定理一：
$$\begin{gathered} A是一个n阶常数矩阵，则微分方程组 \\ \frac{dx(t)}{dt}=Ax(t) \\ 满足初始条件为x(t_0)=x_0时，它的解为 \\ x=e^{A(t-t_0)}{x}_0 \end{gathered}$$

定理二：
$$\begin{gathered} 设A是一个n阶常数矩阵，则微分方程组 \\ \frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+f(t) \\ 满足初始条件x(t_0)=x_0的解为 \\ x=e^{A(t-t_0)}{x}_0+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}f(\tau )d\tau \end{gathered}$$
（看着像高数里面的微分方程，但是又不太像。）