【动态规划】LeetCode2552：优化了6版的1324模式

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频
动态规划

本题其它解法

C++前缀和算法的应用：统计上升四元组

类似题解法

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题目

给你一个长度为 n 下标从 0 开始的整数数组 nums ，它包含 1 到 n 的所有数字，请你返回上升四元组的数目。
如果一个四元组 (i, j, k, l) 满足以下条件，我们称它是上升的：
0 <= i < j < k < l < n 且
nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
示例 1：
输入：nums = [1,3,2,4,5]
输出：2
解释：

• 当 i = 0 ，j = 1 ，k = 2 且 l = 3 时，有 nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
• 当 i = 0 ，j = 1 ，k = 2 且 l = 4 时，有 nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
  没有其他的四元组，所以我们返回 2 。
  示例 2：
  输入：nums = [1,2,3,4]
  输出：0
  解释：只存在一个四元组 i = 0 ，j = 1 ，k = 2 ，l = 3 ，但是 nums[j] < nums[k] ，所以我们返回 0 。
  参数范围：
  4 <= nums.length <= 4000
  1 <= nums[i] <= nums.length
  nums 中所有数字 互不相同 ，nums 是一个排列。

第一版

分析

1324模式，第1的小在最前面，其次是第3小，再次是第2小的，最后是第4小的。

变量解释

v21	v21[i2][i1] = k，表示 nums[i2]和nums[x]组成12模式的数量是k，x取值范围[0,i1)
v32	v32[i3][i2]=k，表示以num[i3]为3以nums[x]为2 组成的132模式的数量是k，x取[0,i2)

代码

class Solution {
public:
long long countQuadruplets(vector& nums) {
m_c = nums.size();
//v21[i2][i1] = k，表示 nums[i2]和nums[x]组成12模式的数量是k，x取值范围[0,i1)
vector v21(m_c,vector(m_c+1));
for (int i2 = 0; i2 < m_c; i2++)
{
for (int i1 = 0; i1 < i2; i1++)
{
v21[i2][i1 + 1] = v21[i2][i1] + (nums[i1] < nums[i2]);
}
}
vector v32(m_c, vector(m_c + 1));
for (int i3 = 0; i3 < m_c; i3++)
{
for (int i2 = i3 + 1; i2 < m_c; i2++)
{
v32[i3][i2 + 1] = v32[i3][i2];
if (nums[i3] > nums[i2])
{
v32[i3][i2 + 1] += v21[i2][i3];
}
}
}
long long llRet = 0;
for (int i3 = 0; i3 < m_c; i3++)
{
for (int i4 = i3 + 1; i4 < m_c; i4++)
{
if (nums[i3] < nums[i4])
{
llRet += v32[i3][i4];
}
}
}
return llRet;
}
int m_c;
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		assert(v1[i] == v2[i]);
	}
}

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

int main()
{
	Solution slu;
	vector<int> nums ;
	long long res;
	nums = { 1, 3, 2, 4, 5 };
	res = slu.countQuadruplets(nums);
	Assert(2LL, res);
	nums = { 1, 2,3,4 };
	res = slu.countQuadruplets(nums);
	Assert(0LL, res);
	nums = { 4,3,2,1 };
	res = slu.countQuadruplets(nums);
	Assert(0LL, res);
	nums = { 4,3,2,6,5,1 };
	res = slu.countQuadruplets(nums);
	Assert(0LL, res);
	nums = { 1,3,2,4 };
	res = slu.countQuadruplets(nums);
	Assert(1LL, res);
	nums = { 2,1,4,3,5 };
	res = slu.countQuadruplets(nums);
	Assert(2LL, res);
	nums.clear();
	for (int i = 0; i < 4000; i++)
	{
		nums.emplace_back(i + 1);
	}
	res = slu.countQuadruplets(nums);
	Assert(0LL, res);
	//CConsole::Out(res);
}

第二版

三步是如此相似，也许可以合并。第一步的循环似乎不同。我们把第一步的第一层循环换到第二层就更相似了。修改后的第一步：

	for (int i1 = 0; i1 < m_c ; i1++)		
		{
			for (int i2 = i1+1; i2 < m_c; i2++)
			{
				v21[i2][i1 + 1] = v21[i2][i1] + (nums[i1] < nums[i2]);
			}
		}

第三版

第一层 的循环变量改成i,第一层的循环变量改成j。

class Solution {
public:
	long long countQuadruplets(vector<int>& nums) {
		m_c = nums.size();
		//v21[i2][i1] = k，表示 nums[i2]和nums[x]组成12模式的数量是k，x取值范围[0,i1)
		vector<vector<int>> v21(m_c,vector<int>(m_c+1));
		for (int i = 0; i < m_c ; i++)		
		{
			for (int j = i+1; j < m_c; j++)
			{
				v21[j][i + 1] = v21[j][i] + (nums[i] < nums[j]);
			}
		}
		vector<vector<int>> v32(m_c, vector<int>(m_c + 1));
		for (int i = 0; i < m_c; i++)
		{
			for (int j = i + 1; j < m_c; j++)
			{
				v32[i][j + 1] = v32[i][j];
				if (nums[i] > nums[j])
				{
					v32[i][j + 1] += v21[j][i];
				}
			}
		}
		long long llRet = 0;
		for (int i = 0; i < m_c; i++)
		{
			for (int j = i + 1; j < m_c; j++)
			{
				if (nums[i] < nums[j])
				{
					llRet += v32[i][j];
				}
			}
		}
		return llRet;
	}
	int m_c;
};

第四版

三轮循环合并。

class Solution {
public:
	long long countQuadruplets(vector<int>& nums) {
		m_c = nums.size();
		//v21[i2][i1] = k，表示 nums[i2]和nums[x]组成12模式的数量是k，x取值范围[0,i1)
		vector<vector<int>> v21(m_c,vector<int>(m_c+1));
		vector<vector<int>> v32(m_c, vector<int>(m_c + 1));
		long long llRet = 0;
		for (int i = 0; i < m_c ; i++)		
		{
			for (int j = i+1; j < m_c; j++)
			{
				v21[j][i + 1] = v21[j][i] + (nums[i] < nums[j]);
				v32[i][j + 1] = v32[i][j];
				if (nums[i] > nums[j])
				{
					v32[i][j + 1] += v21[j][i];
				}
				if (nums[i] < nums[j])
				{
					llRet += v32[i][j];
				}
			}
		}
		return llRet;
	}
	int m_c;
};

第五版

v2 只用到三处, v21[j][i + 1] 和 v21[j][i]，可以简化成一维变量。
优化后，代码如下：

class Solution {
public:
	long long countQuadruplets(vector<int>& nums) {
		m_c = nums.size();
		//v21[i2][i1] = k，表示 nums[i2]和nums[x]组成12模式的数量是k，x取值范围[0,i1)
		vector<vector<int>> v32(m_c, vector<int>(m_c + 1));
		long long llRet = 0;
		vector<int> v21(m_c);
		for (int i = 0; i < m_c ; i++)		
		{			
			for (int j = i+1; j < m_c; j++)
			{		
				v32[i][j + 1] = v32[i][j];
				if (nums[i] > nums[j])
				{
					v32[i][j + 1] += v21[j];
				}
				if (nums[i] < nums[j])
				{
					llRet += v32[i][j];
				}
				v21[j] +=  (nums[i] < nums[j]);
			}
		}
		return llRet;
	}
	int m_c;
};

第六版

v32只用到v32[i][j + 1] v32[i][j]，我们可以简化成一个变量i32，i发生变化的时候赋初值0。

class Solution {
public:
	long long countQuadruplets(vector<int>& nums) {
		m_c = nums.size();
		//v21[i2][i1] = k，表示 nums[i2]和nums[x]组成12模式的数量是k，x取值范围[0,i1)
		long long llRet = 0;
		vector<int> v21(m_c);
		for (int i = 0; i < m_c ; i++)		
		{	
			int i32 = 0;
			for (int j = i+1; j < m_c; j++)
			{					
				if (nums[i] < nums[j])
				{
					llRet += i32;
				}
				if (nums[i] > nums[j])
				{
					i32 += v21[j];
				}
				v21[j] +=  (nums[i] < nums[j]);
			}
		}
		return llRet;
	}
	int m_c;
};

扩展阅读

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境：

VS2022 C++17