LeetCode279. 完全平方数

279. 完全平方数

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一、题目

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

• 1 <= n <= 104

二、题解

方法一：完全背包二维数组

算法思路

这道题要求找到和为n的完全平方数的最少数量，下面是解题思路的详细说明：

1. 首先，我们需要找到比n小的最大完全平方数，这个完全平方数不会大于n。我们可以通过遍历从1开始的完全平方数来找到这个数。在代码中，这部分的逻辑是：

   int target = 0;
   int i = 1;
   for(i = 1; i <= n; i++){
       if(i * i > n){
           break;
       }
   }
   target = i - 1;
   

   这里的target就是比n小的最大完全平方数。

2. 接下来，我们建立一个二维动态规划数组dp，其中dp[i][j]表示使用前i个完全平方数，组成和为j的最少数量。

3. 我们初始化dp[1][i]为i，因为只能使用一个完全平方数1，所以组成任意数字j的最少数量都是j本身。

4. 接下来，我们开始填充dp数组的其余部分。我们从2号完全平方数开始，遍历完全平方数的个数（从2到target），然后遍历组成的和（从0到n）。在每个位置(i, j)，我们有两个选项：

   • 保持dp[i][j]不变，这意味着我们不使用当前的完全平方数i，所以最少数量与前一个状态dp[i-1][j]相同。
   • 尝试使用当前的完全平方数i，如果可以的话，将dp[i][j]更新为dp[i][j-i*i]+1，这表示使用了一个完全平方数i，所以数量加一。

5. 最终，dp[target][n]就是答案，即使用前target个完全平方数组成和为n的最少数量。

具体实现

下面是具体的代码实现，已经按照上述思路注释：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        // 寻找离n最接近的完全平方数
        int target = 0;
        int i = 1;
        for(i = 1; i <= n; i++){
            if(i * i > n){
                break;
            }
        }
        target = i - 1;

        // 建立dp数组，dp数组的含义是使用前i个完全平方数组成和为j的最少数量
        vector<vector<int>> dp(target+1, vector<int>(n+1, INT_MAX));

        // 初始化dp数组，使用一个完全平方数1，组成任意数字j的最少数量都是j本身
        for(int i = 0; i <= n; i++){
            dp[1][i] = i;
        }

        // 填充dp数组
        for(int i = 2; i <= target; i++){
            for(int j = 0; j <= n; j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j]; // 不使用当前完全平方数i
                if(j >= i * i && dp[i][j-i*i] != INT_MAX){
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-i*i]+1); // 使用当前完全平方数i
                }
            }
        }

        return dp[target][n];
    }
};

算法分析

• 时间复杂度：遍历完全平方数1到target需要O(target)的时间，填充dp数组需要O(target * n)的时间。所以总时间复杂度是O(target * n)。
• 空间复杂度：使用了一个二维dp数组，大小为(target+1) * (n+1)，所以空间复杂度是O(target * n)。

方法二：一维数组（空间复杂度更小的改进版本,最下面的两个版本不需要存储完全平方数）

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        // 建立dp数组，dp[i]表示凑成i所需要的最少完全平方数的个数
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;

        // 计算完全平方数列表
        vector<int> squares;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            squares.push_back(i * i);
        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int square : squares) {
                if (i < square) break; // 如果当前数小于完全平方数，则跳出循环
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - square] + 1);
            }
        }

        return dp[n];
    }
};

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品
            for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包
                dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};