【面试HOT200】回溯篇

系列综述：
目的：本系列是个人整理为了秋招面试的，整理期间苛求每个知识点，平衡理解简易度与深入程度。
来源：材料主要源于【CodeTopHot300】进行的，每个知识点的修正和深入主要参考各平台大佬的文章，其中也可能含有少量的个人实验自证，所有代码均优先参考最佳性能。
结语：如果有帮到你的地方，就点个赞和关注一下呗，谢谢！！！
【C++】秋招&实习面经汇总篇

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点此到文末惊喜↩︎

基础知识

1. 回溯算法 = 穷举 + 剪枝
   • 穷举：从一个选择开始，一步步尝试每一个可能的选择，如果某次选择导致问题无法解决，则回溯并选择另一种可能，直到找到一个可行的解或者穷举所有可能的解。
   • 剪枝：在搜索过程中，根据问题的限制条件，减少搜索空间，提高算法效率
2. 作用
   • 在多个选择中搜索出满足条件的所有可能解
   • 一般地，组合问题和排列问题是在树形结构的叶子节点上收集结果，而子集问题就是取树上所有节点的结果。
3. 回溯算法解决的问题一般为npc问题，难以使用常规算法进行解决
   • 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
     • 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
     • 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
   • 排列问题：N个数按一定规则选出M个，有几种排列方式
   • 棋盘问题：N皇后，解数独等等
4. 所有的回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构
   • 根节点是总数据集合，树枝节点是可选数据集合
   • 叶子节点为根节点到叶子节点的路径的选择集合
     

// 结果集和路径集
vector<vector<type> res;
vector<type> path;
void backtracking(vecotr<type> candidates, int startIndex) {
	// 针对当前选择的合法性判断
	auto is_ok = [](const type &data)->bool{
		// type中数据项的合法性判断
	};
	// 递归出口：结点剪枝，生成慢
    if (is_ok(val)) {
        res.push_back(path);
        return;
    }
	// 延申和回撤路径时，可能涉及多个状态标记变量的改动
    for (int i = startIndex; i < candidates.size(); ++i) {
    	分叉剪枝判断（性能高）;
    	// 状态延申改动
        path.push_back(candidates[i]);// 向下延申
        backtracking(剩余可选列表); // 回溯
        // 状态回撤改动
        path.pop_back();// 回撤延申
    }
}
// 主函数
vector<vector<int>> combine(vector<type>& candidates) {
       res.clear(); // 可以不写
       path.clear();// 可以不写
       backtracking(candidates, 0);
       return result;
   }

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回溯基础算法模板

模板使用的初衷：将问题的输入转换成对应模板的输入格式，然后调用模板的函数（已经背诵的）进行快速的求解

组合问题

1. 组合问题的复杂度
   • 时间复杂度：$O(C_n^k\times k)$，总共有$C_n^k$种组合，每种组合需要$O(k)$ 的时间复杂度
   • 空间复杂度：$O(n)$，递归深度为n，所以系统栈所用空间为$O(n)$

无重复元素的组合

1. 基本概述
   • 问题：从无重复元素的集合中选出K个元素组成组合，每个元素只能被选取一次，且选出的元素之间没有顺序之分。
   • 举例：从元素集合{1，2，3}中选择2个元素的组合为{(1,2)，(1,3)，(2,3)}。
     
2. 代码
   • 解决的问题：给定一个线性表，求该线性表中满足条件的组合
   • 示例：求线性表中所有个数为target的结果。
   • 剪枝：列表中剩余元素(vec.size() - i) >= 所需需要的元素个数(target - path.size())

// 从候选集candidate中选出任意k个数组成的集合
vector<vector<int>> Backtracking(vector<int> &candidate, int k) {
	const int len = candidate.size();
    // 递归函数
    vector<int> path;			// 符合条件的路径
    vector<vector<int>> res;	// 符合条件的路径集合
    auto self = [&](auto &&self, int pos){
        // 递归出口：满足条件的路径加入结果集中
        if (path.size() == k) {
            res.push_back(path);
            return;
        }
        // i = start表示从之后剩余中选择
        for (int i = pos; i < len ; ++i) {
            if (i > len - (k-path.size())) 
                 continue;
            path.push_back(candidate[i]);	// 做出选择
           	self(self, i+1);// key: 是i+1	// 递归
            path.pop_back();				// 撤销选择
        }
    };
    self(self, 0);
    return res;
}

有重复元素的组合

1. 基本概述
   • 问题：从有重复元素的组合中选出若干元素组成组合，每个元素只能被选取一次，且选出的元素之间没有顺序之分。
   • 举例：从集合{1, 2, 2, 3}中选择2个元素的组合为{1, 2}、{1, 3}、{2, 2}、{2, 3}。
2. 代码
   • 解决问题：给定一个线性表，求该线性表中满足条件的组合，因为有重复元素，所以选择重复元素时只能使用一次，否则会出现集合中的重复

vector<vector<int>> Backtracking(vector<int> &candidate, int k) {
    // 排序
    sort(candidate.begin(), candidate.end());
    // 递归匿名函数
    vector<int> path;
    vector<vector<int>> res;
    auto self = [&](auto &&self, int pos){
        if (path.size() == k) {
            res.push_back(path);
            return;
        }

        for (int i = pos; i < candidate.size(); ++i) {
            // key: i > pos。第一次选取到重复的数，不会影响后面
            if (i > pos && candidate[i] == candidate[i-1])
                continue;
            path.push_back(candidate[i]);
            self(self, i+1);
            path.pop_back();
        }
    };
    // 递归调用
    self(self, 0);
    return res;
}

排列问题

1. 组合问题的复杂度
   • 时间复杂度：$O(n\times n!)$，一共 $n!$ 种组合，每种排列构造时间需要$O(n)$ 的时间复杂度
   • 空间复杂度：$O(n)$，递归深度为n，所以系统栈所用空间为$O(n)$

无重复元素的全排列

1. 基本概述
   • 问题：无重复元素的排列是指在给定一组不同的元素中，按照一定的顺序排列出所有可能的组合，每个元素只出现一次。
   • 举例：从集合{1, 2, 3}，则可以产生以下6种无重复元素的排列：{1, 2, 3}、{1, 3, 2}、{2, 1, 3}、{2, 3, 1}、{3, 1, 2}、{3, 2, 1}。
     
2. 代码
   • 不需要使用pos，每一个i对应一位

   vector<vector<int>> permute(vector<int>& candidate) {
       const int len = candidate.size();
       vector<int> path;				// 回溯路径
       vector<vector<int>> res;		// 回溯结果集
       vector<bool> used(len, false);	// 使用标记
       auto self = [&](auto &&self){	// 回溯算法
           if (path.size() == len) {
               res.push_back(path);
               return ;
           }
           for (int i = 0; i < len; ++i) {
           	// path里已经收录的元素，直接跳过
               if (used[i] == true) continue;
               // 增加选择
               used[i] = true;
               path.push_back(candidate[i]);
               // 进行回溯
               self(self);
               // 撤回选择
               used[i] = false;
               path.pop_back();
           }
       };
       // 调用
       self(self);
       return res;
   }
   

有重复元素的全排列

1. 基本概述

   • 问题：无重复元素的排列是指在给定一组不同的元素中，按照一定的顺序排列出所有的不重复组合
   • 举例：从集合[1,1,2]，则可以产生无重复的全排列： [1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]

2. 代码

   • 产生重复解的原因：例如[1,1,2], 无法区分[1(0), 1(1), 2] 和[1(1), 1(0), 2] 这两种情况的解
     

   vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& candidate) {
       const int len = candidate.size();
       sort(candidate.begin(), candidate.end());
   	// 递归
       vector<int> path;
       vector<vector<int>> res;
       vector<bool> used(len, false);  // key：注意初始化
       auto self = [&](auto &&self){
           if (path.size() == len) {
               res.emplace_back(path);
               return ;
           }
           for (int i = 0; i < len; ++i) {
               // 有效的重复元素 && 前一个元素未被使用
               // 保证相同元素同层中只有第一个被使用
               if (i > 0 && candidate[i] == candidate[i-1] && used[i-1] == false) 
                   continue;
              if (used[i] == false) {
                   used[i] = true;
                   path.emplace_back(candidate[i]);
                   self(self);
                   used[i] = false;
                   path.pop_back();
              }
           }
       };
   
       self(self);
       return res;
   }
   
   // 哈希表处理重复解
   vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& candidate) {
       const int len = candidate.size();
       // 去重
       unordered_map<int, int> umap;
       for (auto &i : candidate) ++umap[i];
       // 回溯算法
       vector<vector<int> > res;
       vector<int> path;
       auto self = [&](auto &&self, int pos){
           // 递归出口
           if (pos == len) {
               res.push_back(path);
               return ;
           }
           for (auto &i : umap) {
               if (i.second == 0) continue;
               path.push_back(i.first);
               --i.second;
               self(self, pos+1);
               path.pop_back();
               ++i.second;
           }
       };
       self(self, 0);
       return res;
   }
   

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HOT200回溯相关题目

39. 组合总和

1. 题目
   • 给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的 所有 不同组合 ，并以列表形式返回
   • candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取
   • 输入：candidates = [2,3,5], target = 4
   • 输出：[[2,2]]
     

vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
	vector<vector<int>> res;
	vector<int> path;
	auto self =  [&](auto &&self, int pos, int sum){
	    // 结束条件
	    if (sum > target) return ;
	    if (sum == target) {
	        res.push_back(path);
	        return ;
	    }
	    // 路径回溯
	    for (int i = pos; i < candidates.size(); ++i) {
	        sum += candidates[i];
	        path.push_back(candidates[i]);
	        self(self, i, sum);	// key: 不用i+1表示可重复读取当前值
	        sum -= candidates[i];
	        path.pop_back();
	    }
	};
	self(self, 0, 0);
	return res;
}

40. 组合总和 II

1. 题目
   • 给定一个候选人编号的集合 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
   • 输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
   • 输出：[ [1,2,2], [5] ]
2. 代码
   

vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
    const int len = candidates.size();
    sort(candidates.begin(), candidates.end());
    // 回溯部分
    vector<int> path;
    vector<vector<int>> res;
    vector<bool> used(len, false);
    int sum = 0;
    auto self = [&](auto &&self, int pos){
        // 结点剪枝
        if (sum == target) {
            res.emplace_back(path);
            return ;
        }

        for (int i = pos; i < len; ++i) {
            // 分叉剪枝: 性能高一些
            if (sum + candidates[i] > target) continue;
            if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i-1] && used[i-1] == false) 
                continue;
            if (used[i] == true) continue;
            used[i] = true;
            path.emplace_back(candidates[i]);
            sum += candidates[i];
            self(self, i+1);    // i+1表示每个元素不重复使用
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();
            used[i] = false;
        
        }
    };
    
    self(self, 0);
    return res;
}

93. 复原 IP 地址

1. 题目
   • 给定一个只包含数字的字符串 s ，用以表示一个 IP 地址，返回所有可能的有效 IP 地址，这些地址可以通过在 s 中插入 ‘.’ 来形成
   • 输入：s = “25525511135”
   • 输出：[“255.255.11.135”,“255.255.111.35”]

vector<string> restoreIpAddresses(string s) {
  const int len = s.size();
  // 判断字符串s在左闭又闭区间[start, end]所组成的数字是否合法
  auto is_valid = [](const string& s, int start, int end) {
      cout << start <<' ' <<  end << endl;
       
      if (start > end) {
          return false;
      }
      if (s[start] == '0' && start != end) // 0开头的数字不合法
          return false;
      
      int num = 0;
      for (int i = start; i <= end; i++) {
          if (s[i] > '9' || s[i] < '0') { // 遇到非数字字符不合法
              return false;
          }
          num = num * 10 + (s[i] - '0');
          if (num > 255) { // 如果大于255了不合法
              return false;
          }
      }
   return true;
};

131. 分割回文串

1. 131. 分割回文串
   • 获取[startIndex,i]在s中的子串s.substr(startIndex, i - startIndex + 1)

   // 判断是否为回文字符串
   bool isPalindrome(const string& s, int start, int end) {
       for (int i = start, j = end; i < j; i++, j--) {
           if (s[i] != s[j]) {
               return false;
           }
       }
       return true;
   }
   // 基本的回溯
   vector<vector<string>> result;
   vector<string> path; // 放已经回文的子串
   void backtracking (const string& s, int startIndex) {
       // 如果起始位置已经大于s的大小，说明已经找到了一组分割方案了
       if (startIndex >= s.size()) {
           result.push_back(path);
           return;
       }
       for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
       	// 剪枝与枝的延长
           if (isPalindrome(s, startIndex, i)) {   // 是回文子串
               // 获取[startIndex,i]在s中的子串
               string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
               path.push_back(str);
           } else {  // 不是回文，跳过
               continue;
           }
           backtracking(s, i + 1); // 寻找i+1为起始位置的子串
           path.pop_back(); // 回溯过程，弹出本次已经填在的子串
       }
   }
   
   
   vector<vector<string>> partition(string s) {
       result.clear();
       path.clear();
       backtracking(s, 0);
       return result;
   }
   

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1005. K 次取反后最大化的数组和

1. 1005. K 次取反后最大化的数组和
   • sort的使用：第三个参数为自定义的排序队则，在头文件#include
   • accumulate的使用：第三个参数为累加的初值，在头文件include

   static bool cmp(int a, int b) {
       return abs(a) > abs(b);// 绝对值的从大到小进行排序
   }
   int largestSumAfterKNegations(vector<int>& A, int K) {
   	// 将容器内的元素按照绝对值从大到小进行排序
       sort(A.begin(), A.end(), cmp); 
       // 在K>0的情况下，将负值按照绝对值从大到小依次取反
       for (int i = 0; i < A.size(); i++) { 
           if (A[i] < 0 && K > 0) {
               A[i] *= -1;
               K--;
           }
       }
       // 如果K为奇数，将最小的正数取反
       if (K % 2 == 1) 
       	A[A.size() - 1] *= -1; 
      	// 求和
       return accumulate(A.begin(),A.end(),0);
       // 第三个参数为累加的初值，在头文件include
   }
   

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参考博客

1. 「代码随想录」47. 全排列 II:【彻底理解排列中的去重问题】详解
2. codetop