acwing算法基础之贪心--区间问题和Huffman树

1 基础知识

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2 模板

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3 工程化

题目1：区间选点。给你N个区间，让你在数轴上选一些点，要求N个区间中至少有一个点被选出。求选一些点的最少数目。

解题思路：贪心，按照右端点排序，每次选择右端点，维护一个res和右端点right即刻，如果当前区间左端点大于right，则更新right，res自增。

C++代码如下，

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<pair<int,int>> nums;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        nums.emplace_back(a,b);
    }
    
    sort(nums.begin(), nums.end(), [](const pair<int,int> a, const pair<int,int> b) {
        return a.second < b.second;
    });
    
    int res = 0;
    int right = -2e9;
    for (auto [x,y] : nums) {
        if (x > right) {
            res += 1;
            right = y;
        }
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

题目2：求最大不相交区间数。给定N个区间，你可以选择一些区间，要求这些区间不能相交，求区间的最大数目。

解题思路：同题目1的解题思路。

C++代码如下，

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<pair<int,int>> nums;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        nums.emplace_back(a,b);
    }
    
    sort(nums.begin(), nums.end(), [](const pair<int,int> a, const pair<int,int> b) {
        return a.second < b.second;
    });
    
    int res = 0;
    int right = -2e9;
    for (auto [l, r] : nums) {
        if (l > right) {
            res += 1;
            right = r;
        }
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

题目3：给你N个区间，请将它们分成若干组，要求每组内部两两区间互不相交，求组数目的最小值。

关键步骤介绍如下：

1. 将区间按照左端点排序。
2. 定义一个小根堆heap，用来存储每个组中所有区间右端点的最大值。
3. 遍历每个区间[l, r]，如果堆顶大于等于l，则将r插入到堆中；否则弹出堆顶，再将r插入到堆中。
4. 最终答案等价于堆中的元素数目。

C++代码如下，

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<pair<int,int>> nums;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        nums.emplace_back(a,b);
    }
    
    sort(nums.begin(), nums.end());
    
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    for (auto [l, r] : nums) {
        if (heap.empty() || heap.top() >= l) {
            heap.push(r);
        } else {
            heap.pop();
            heap.push(r);
        }
    }
    
    cout << heap.size() << endl;
    
    return 0;
}

题目4：给定N个区间和一个[s,t]，求能把[s,t]完全覆盖住的最少区间数目。

解题关键步骤：

1. 将所有区间按左端点进行排序。
2. 定义变量int start = st和int res = 0。
3. 遍历每一个区间：定义变量int r = -2e9，在所有能覆盖住start的区间中（即nums[j].first <= start），选择右端点最大的区间（即r = max(r, nums[j].second)）。如果r < start，说明无法覆盖住，终止循环break。然后res += 1和start = r，如果start >= ed，提前终止循环，返回答案res。

C++代码如下，

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int main() {
    int st, ed;
    cin >> st >> ed;
    
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<pair<int,int>> nums;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        nums.emplace_back(a,b);
    }
    
    //按照左端点排序
    sort(nums.begin(), nums.end(), [](const pair<int,int> a, const pair<int,int> b) {
        return a.first < b.first;   
    });
    
    int res = 0;
    int start = st;
    bool is_succ = false;
    for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
        int r = -2e9;
        int j = i;
        while (j < nums.size() && nums[j].first <= start) {
            r = max(r, nums[j].second);
            j += 1;
        }
        
        if (r < start) { //最左侧的区间的左端点都大于start，无法覆盖住
            break;
        }
        
        res += 1;
        start = r;
        
        if (start >= ed) {
            is_succ = true;
            break;
        }
        
        i = j - 1;
    }
    
    if (is_succ) cout << res << endl;
    else cout << -1 << endl;
    
    return 0;
}

题目5：合并果子。给你N堆不同数量的果子，每次可以选择任意两堆进行合并，合并代价和那两堆果子的数目之和。求将N堆果子合并成一堆果子的最小代价。

解题思路：贪心做法，每次选择最小的两堆进行合并。

C++代码为，

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        heap.push(x);
    }
    
    int res = 0;
    while (heap.size() > 1) {
        int a = heap.top(); heap.pop();
        int b = heap.top(); heap.pop();
        res += a + b;
        heap.push(a + b);
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}