听海边涛声
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McDiarmid不等式

若X_{1},X_{2},...,X_{n}为一组独立随机变量，假设存在常数c_{1},c_{2},...,c_{n}，对任意1\leqslant i\leq n，映射函数f满足：

\underset{x_{1},...,x_{n},x_{i}^{'}}{\sup }\left | f(x_{1},...,x_{n}) -f(x_{1},...,x_{i-1},x_{i}^{'},x_{i+1},...,x_{n})\right |\leq c_{i}

也就说，改变第i个随机变量的值，函数f的值最大变化c_{i}。

那么对任何\epsilon > 0，有

P((f(X_{1},...,X_{n})-E\left [ f(X_{1},...,X_{n}) \right ])\geq \epsilon )\leq exp(-\frac{2\epsilon ^{2}}{\sum_{i=1}^{n}c_{i}^{2}})

P((f(X_{1},...,X_{n})-E\left [ f(X_{1},...,X_{n}) \right ]) \leq -\epsilon )\leq exp(-\frac{2\epsilon ^{2}}{\sum_{i=1}^{n}c_{i}^{2}})

P(\left | f(X_{1},...,X_{n})-E\left [ f(X_{1},...,X_{n}) \right ] \right |\geq \epsilon )\leq 2exp(-\frac{2\epsilon ^{2}}{\sum_{i=1}^{n}c_{i}^{2}})

参考资料：

McDiarmid's inequality | encyclopedia article by TheFreeDictionary

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