二元函数的全微分求积

二元函数的全微分求积

全微分

• 设函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y)$的某个领域内有定义,如果导数在点$P$的全增量$\Delta z$=$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$

  能够表示为$\Delta z$=$A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$(0)

• 则$A\Delta x+B\Delta y$称为函数$z=f(x,y)$在$P$的全微分,记为$\mathrm{d}z{|}_{(x,y)}$=$A\Delta x+B\Delta y$(1)或$\mathrm{d}z$=$A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y$(1')

全微分叠加原理

• 二元函数的全微分(如果存在)等于它的两个偏微分之和
• 即$\mathrm{d}u$=$u_x\mathrm{d}x$+$u_y\mathrm{d}y$(1-1)

全导数

• 若函数$u=\varphi (t)$,$v=\psi (t)$都在点$t$可导,函数$z=f(u,v)$在对应点$(u,v)$具有有连续偏导数,则复合函数$z=f(\varphi (t),\psi (t))$在点$t$可导,且$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$=$\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$+$\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}$(2)简写为$z_t=z_u{u}_t+z_v{v}_t$

成为某二元函数全微分的条件

• 这里讨论函数$P(x,y)$,$Q(x,y)$满足什么条件时,表达式$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$(2)才是某个二元函数$u(x,y)$的全微分

定理

• 设区域$G$是一个单连通域,若函数$P(x,y)$,$Q(x,y)$在$G$内具有一阶连续偏导数,则$P(x,y)$,则式(2)在$G$内为某一函数$u(x,y)$的全微分的充要条件:$\frac{\partial P}{\partial y}$=$\frac{\partial Q}{\partial x}$(3)(即$P_y=Q_x$)在$G$内恒成立

证明

必要性

• 假设存在一函数$u(x,y)$使得$\mathrm{d}u$=$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$(4)
• 比较式(1-1,4),则$u_x$=$P(x,y)$,$u_y$=$Q(x,y)$(5),从而$u_{xy}=P_y$(6-1);$u_{yx}$=$Q_x$(6-2)
• 由条件$P,Q$(即$u_x,u_y$)具有一阶连续偏导数,所以$u_{xy},u_{yx}$存在而且连续,可得两个混合偏导相等
• 因此$u_{xy}$=$u_{yx}$,即$P_y=Q_x$

充分性

• 充分性的证明复杂一些
• 设式(3)在$G$内恒成立,则由曲线积分和路径无关定理,起点为$M_0(x_0,y_0)$,终点为$M(x,y)$的曲线积分在区域$G$内与路径无关
• 于是把曲线$M_{0}M$的曲线积分写作:$u(x,y)$=${\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$(7)
  • 当起点$M_0$固定时,式(7)的值取决于$M(x,y)$,因此它与$x,y$构成函数关系,把这里该函数记为$u(x,y)$
  • Note:若为了区别函数的自变量和积分变量,可记$u(x,y)$=${\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(s,t)\mathrm{d}s+Q(s,t)\mathrm{d}t$
• 上面的想法构造处了一个函数,现在证明这个函数的全微分恰好就是式(2)
• 因为$P(x,y)$,$Q(x,y)$都是连续的,因此只要证明:$u_x$=$P(x,y)$,$u_y$=$Q(x,y)$,
• 这里用偏导数的定义来证明
  • $u_x$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)-u(x,y)}{\Delta x}$(7-0),并设坐标$N(x+\Delta x,y)$
  • 由式(7),得$u(x+\Delta x,y)$=${\int }_{(x_0,y_0)}^{(x+\Delta x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$(7-1)
  • 由于这里得曲线积分和路径无关,可以取:$M_0\to M$,然后沿平行于$x$轴得直线段从点$M\to N$作为上式右端曲线积分的路径,结合式(7),这样就有
    • $u(x+\Delta x,y)$=$u(x,y)$+${\int }_{(x,y)}^{(x+\Delta x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$(7-2)
      • 其中$u(x,y)$就是式(7)两端对调:${\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$=$u(x,y)$的结果
    • 式(7-2)变形为$u(x+\Delta x,y)-u(x,y)$=${\int }_{(x,y)}^{(x+\Delta x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$(7-3)
    • 而直线段$MN$的方程为$y=k$,($k$为常数),按对坐标的曲线积分公式,式(7-3)右端改写为${\int }_x^{x+\Delta x}P(x,y)\mathrm{d}x$(7-4)
      • ${\int }_x^{x+\Delta x}P(x,y)\mathrm{d}x$对应于${\int }_{MN}$
      • (7-3)右端转换为对$x$的定积分,得(7-4)
  • 对(7-4)应用定积分中值定理,$u(x+\Delta x,y)-u(x,y)$=$P(x,y)\Delta x$,$(\theta \in [0,1])$
  • 上式两边除以$\Delta x$并令$\Delta x\to 0$取极限:$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}$=$P(x,y)$(8)
  • 由于$P(x,y)$的偏导数在$G$内连续,则$P(x,y)$本身也一定连续,又由偏导定义式(7-0),于是$u_x$=$P(x)$(8-1)
  • 同理,$u_y$=$Q(x,y)$(8-2)

推论

• 设区域$G$是一个单连通域,若函数$P(x,y)$,$Q(x,y)$在$G$内具有一阶连续偏导数,则$P(x,y)$,则曲线积分${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$在$G$内与路径无关的充要条件是:在$G$内存在$u(x,y)$使得$\mathrm{d}u$=$P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$
• 该结论由上述全微分条件定理和曲线积分和路径无关定理可以立即推得

应用

• 根据上述讨论,若函数$P(x,y),Q(x,y)$在单连通域$G$内具有一阶连续偏导数,且满足条件$P_y=Q_x$,则函数$P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$是某个函数$u(x,y)$的全微分,$u(x,y)$可以用公式(7)计算
• 考虑到公式(7)中曲线积分和路径无关,为例简便起见按,通常选择平行于坐标轴的直线段所连成折线作为积分路径(若折线均位于$G$内)
• 设$M_0(x_0,y_0)$,$R(x,y_0)$,$S(x_0,y)$,$M(x,y)$,则
  • $u(x,y)$=${\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)\mathrm{d}x$+${\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)\mathrm{d}y$(1)
    • ${\int }_{M_{0}R}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$=${\int }_{x_0}^{x}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$=${\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)\mathrm{d}x$
      • 注意到$M_{0}R$的方程为$y=y_0$,可以表示为关于$x$的参数方程:$x=x;y=y_0$且$x\in (x_0,x)$对应的定积分(转化为对$x$的定积分)为${\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)\mathrm{d}x$+$0$=${\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)\mathrm{d}x$(1-1)
    • ${\int }_{RM}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$=${\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)\mathrm{d}y$
      • 注意到$RM$的方程为$x=x$(视为常数,$\mathrm{d}x=0$),可以表示为关于$y$的参数方程:$x=x;y=y$且$y\in (y_0,y)$对应的定积分(转化为对$y$的定积分)为$0+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)\mathrm{d}y$=${\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)\mathrm{d}y$(1-2)
    • 将式(1-1),(1-2)相加得到式(1)
  • $u(x,y)$=${\int }_{y_0}^{y}Q(x_0,y)\mathrm{d}y$+${\int }_{x_0}^{x}P(x,y)\mathrm{d}x$(2)
    • 与式(1)类似
• 公式(1)是先水平$(x)$,后垂直($y$),而公式(2)则相反
  • 对于公式(1),其先对水平段作$x$的积分,后对垂直段作$y$积分

例

• 验证$F$=$\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}$在右半平面$(x>0)$内是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数

解:

• (1)
  • 令$P=\frac{-y}{x^2+y^2}$;$Q=\frac{x}{x^2+y^2}$
  • 则$P_y$=$\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}$=$Q_x$在$x>0$内恒成立,由上述定理可知$F$是某个函数的全微分
• (2)
  • $u(x,y)$=${\int }_{(1,0)}^{(x,y)}F$=${\int }_{AB}F+f_{BC}F$=${\int }_{AB}\frac{-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}+{\int }_{BC}\frac{x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}$=${\int }_1^x\frac{0\mathrm{d}x}{x^2+y^2}$+${\int }_0^y\frac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y$=$0+\arctan \frac{y}{x}{|}_0^y$=$\arctan \frac{y}{x}$

例

• 验证:整个$xOy$面内,$F=x{y}^2\mathrm{d}x+x^{2}y\mathrm{d}y$是某个函数$u(x,y)$的全微分,求出一个这样的函数$u(x,y)$
• 解:
• (1)
  • $P$=$x{y}^2$;$Q=x^{2}y$
  • $P_y$=$2xy$=$Q_x$,在整个$xOy$面内恒成立,由上述判定定理,整个$xOy$面内,$F$是某个函数的全微分
• (2)
  • 取$A(x,0)$,$B(x,y)$
  • $u(x,y)$=${\int }_{(0,0)}^{(x,y)}F$=${\int }_{OA}F$+${\int }_{AB}F$
    • =${\int }_0^{x}x{0}^2\mathrm{d}x$+${\int }_0^y{x}^{2}y\mathrm{d}y$
    • =$0+\frac{1}{2}{x}^2{y}^2{|}_0^y$=$\frac{x^2{y}^2}{2}$
    • 其中$OA$的方程为$y=0$;$AB$的方程为$x=x$