研习代码 day46 | 动态规划——子序列问题2

一、最长公共子序列

        1.1 题目

        给定两个字符串 text1 和 text2,返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ,返回 0 。

        一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。

  • 例如,"ace" 是 "abcde" 的子序列,但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

        两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1:

输入:text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出:3  
解释:最长公共子序列是 "ace" ,它的长度为 3 。

示例 2:

输入:text1 = "abc", text2 = "abc"
输出:3
解释:最长公共子序列是 "abc" ,它的长度为 3 。

示例 3:

输入:text1 = "abc", text2 = "def"
输出:0
解释:两个字符串没有公共子序列,返回 0 。

提示:

  • 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
  • text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

        1.2 题目链接

        1143.最长公共子序列

        1.3 解题思路和过程想法

        (1)解题思路

        # 分析:前元素以相同规则影响当前元素——动态规划

        # 二维数组:截止到字符串 text1 的 i 位置,截止到字符串 text2 的 j 位置,最长公共子序列长度为 dp[i][j]

        # 递推关系:因为判断的不一定是连续的情况,直接迭代,dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1(符合条件)
                                        不符合条件时,取之前的最佳情况值:dp[i][j] = max(dp[i-1][j] , dp[i][j-1])

        # 初始化数组:0

        (2)过程想法

        根据题目的描述判断出动态规划后(前元素以相同规则影响当前元素),使用动规五部曲,很好写代码,其中需要思考的是迭代关系。虽然好写,还是建议多思考一下迭代过程,不然只是稀里糊涂的AC。

        1.4 代码

        1.4.1 二维DP数组
class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        m = len(text1)
        n = len(text2)
        # 二维数组:截止到字符串 text1 的 i 位置,截止到字符串 text2 的 j 位置,最长公共子序列长度为 dp[i][j]

        # 递推关系:因为判断的不一定是连续的情况,直接迭代,dp[i][j] = dp[i][j] + 1

        # 初始化数组
        dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]

        for i in range(1,m+1):
            for j in range(1,n+1):
                if text1[i-1] == text2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

        return dp[m][n]
        1.4.2 一维DP数组
class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        m = len(text1)
        n = len(text2)
        # 一维数组:截止到字符串 text2 的 j 位置,最长公共子序列长度为 dp[j]

        # 递推关系:如果text1[i-1] == text2[j-1],dp[j] = dp[j] + 1
        #          否则 dp[j] = max(dp[j], dp[j-1])

        # 初始化数组
        dp = [0]*(n+1)
        result = 0

        for i in range(1,m+1):
            pre = 0
            for j in range(1,n+1):
                cur = dp[j]
                if text1[i-1] == text2[j-1]:
                    dp[j] = pre + 1
                    result = max(dp[j], result)
                else:
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j-1])
                pre = cur

        return result

二、不相交的线

        2.1 题目

        在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

        现在,可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线,这些直线需要同时满足满足:

  •  nums1[i] == nums2[j]
  • 且绘制的直线不与任何其他连线(非水平线)相交。

        请注意,连线即使在端点也不能相交:每个数字只能属于一条连线。

        以这种方法绘制线条,并返回可以绘制的最大连线数。

示例 1:​​​​​​​

研习代码 day46 | 动态规划——子序列问题2_第1张图片

输入:nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出:2
解释:可以画出两条不交叉的线,如上图所示。 
但无法画出第三条不相交的直线,因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。

示例 2:

输入:nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]
输出:3

示例 3:

输入:nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1]
输出:2

提示:

  • 1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
  • 1 <= nums1[i], nums2[j] <= 2000

        2.2 题目链接

        1035.不相交的线

        2.3 解题思路和过程想法

        (1)解题思路

        # 不相交:其实就是最长公共子序列
        思路同上题

        (2)过程想法

        刚开始没转过弯来,花了好多时间去思考。。。

        2.4 代码

class Solution:
    def maxUncrossedLines(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        # 不相交:其实就是最长公共子序列
        # 数组:截止到字符串 text2 的 j 位置,最长公共子序列长度为 dp[j]
        # 递推关系:满足条件则dp[j] = dp[j-1]+1
        m,n = len(nums1),len(nums2)
        dp = [0] * (n+1)

        result = 0

        for i in range(1, m+1):
            pre = 0
            for j in range(1, n+1):
                cur = dp[j]
                if nums1[i-1] == nums2[j-1]:
                    dp[j] = pre + 1
                    result = max(result,dp[j])
                else:
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j-1])
                pre = cur

        return result

三、最大子数组和

        3.1 题目

        给你一个整数数组 nums ,请你找出一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

        子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1:

输入:nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出:6
解释:连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6 。

示例 2:

输入:nums = [1]
输出:1

示例 3:

输入:nums = [5,4,-1,7,8]
输出:23

提示:

  • 1 <= nums.length <= 10^5
  • -10^4 <= nums[i] <= 10^4

进阶:如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法,尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

        3.2 题目链接

        53.最大子数组和

        3.3 解题思路和过程想法

        (1)解题思路

        贪心:
                 # 局部最优:当前“连续和”为负数时,立即放弃,从下一元素重新计算“连续和”
                 # 整体最优:连取最大“连续和”

        动规:
                # 数组:前 i 个元素的最大和dp[i] 
                # 递推关系:dp[i] = max(dp[i], dp[i-1]+nums[i])

        (2)过程想法

        贪心的思路不难,但是还是感觉动态规划更简单

        3.4 代码

        3.4.1 贪心策略
class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        # 局部最优:当前“连续和”为负数时,立即放弃,从下一元素重新计算“连续和”
        # 整体最优:连取最大“连续和”

        curSum = 0
        maxSum = nums[0]


        for i in range(len(nums)):
            curSum += nums[i]
            # 连续和为正数,统计最大值
            if curSum >= 0:
                maxSum = max(curSum,maxSum)
            # 连续和为负数,将累加值归零,重新开始累加
            # 特殊情况:全是负数如 -2 -1
            else:
                curSum = 0   
                maxSum = max(maxSum,nums[i])

        return maxSum
        3.4.2 动态规划策略
class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        # 数组:前 i 个元素的最大和dp[i] 
        # 递推关系:dp[i] = max(dp[i], dp[i-1]+nums[i])
        # 初始化
        dp = [0] * len(nums)
        dp[0] = nums[0]
        result = dp[0]

        for i in range(1,len(nums)):
            dp[i] = max(nums[i], dp[i-1]+nums[i])
            result = max(dp[i], result)

        return result

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