研习代码 day46 | 动态规划——子序列问题2
一、最长公共子序列
1.1 题目
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，
"ace"是"abcde"的子序列，但"aec"不是"abcde"的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def" 输出：0 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。
提示：
1 <= text1.length, text2.length <= 1000text1和text2仅由小写英文字符组成。
1.2 题目链接
1143.最长公共子序列
1.3 解题思路和过程想法
（1）解题思路
# 分析：前元素以相同规则影响当前元素——动态规划
# 二维数组：截止到字符串 text1 的 i 位置，截止到字符串 text2 的 j 位置，最长公共子序列长度为 dp[i][j]
# 递推关系：因为判断的不一定是连续的情况，直接迭代，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1(符合条件)
不符合条件时，取之前的最佳情况值：dp[i][j] = max(dp[i-1][j] , dp[i][j-1])
# 初始化数组：0
（2）过程想法
根据题目的描述判断出动态规划后（前元素以相同规则影响当前元素），使用动规五部曲，很好写代码，其中需要思考的是迭代关系。虽然好写，还是建议多思考一下迭代过程，不然只是稀里糊涂的AC。
1.4 代码
1.4.1 二维DP数组
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
m = len(text1)
n = len(text2)
# 二维数组：截止到字符串 text1 的 i 位置，截止到字符串 text2 的 j 位置，最长公共子序列长度为 dp[i][j]
# 递推关系：因为判断的不一定是连续的情况，直接迭代，dp[i][j] = dp[i][j] + 1
# 初始化数组
dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
for i in range(1,m+1):
for j in range(1,n+1):
if text1[i-1] == text2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
return dp[m][n]1.4.2 一维DP数组
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
m = len(text1)
n = len(text2)
# 一维数组：截止到字符串 text2 的 j 位置，最长公共子序列长度为 dp[j]
# 递推关系：如果text1[i-1] == text2[j-1]，dp[j] = dp[j] + 1
# 否则 dp[j] = max(dp[j], dp[j-1])
# 初始化数组
dp = [0]*(n+1)
result = 0
for i in range(1,m+1):
pre = 0
for j in range(1,n+1):
cur = dp[j]
if text1[i-1] == text2[j-1]:
dp[j] = pre + 1
result = max(dp[j], result)
else:
dp[j] = max(dp[j], dp[j-1])
pre = cur
return result二、不相交的线
2.1 题目
在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：
-
nums1[i] == nums2[j] - 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
示例 1：
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4] 输出：2 解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。 但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
示例 2：
输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2] 输出：3
示例 3：
输入：nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1] 输出：2
提示：
1 <= nums1.length, nums2.length <= 5001 <= nums1[i], nums2[j] <= 2000
2.2 题目链接
1035.不相交的线
2.3 解题思路和过程想法
（1）解题思路
# 不相交：其实就是最长公共子序列
思路同上题
（2）过程想法
刚开始没转过弯来，花了好多时间去思考。。。
2.4 代码
class Solution:
def maxUncrossedLines(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
# 不相交：其实就是最长公共子序列
# 数组：截止到字符串 text2 的 j 位置，最长公共子序列长度为 dp[j]
# 递推关系：满足条件则dp[j] = dp[j-1]+1
m,n = len(nums1),len(nums2)
dp = [0] * (n+1)
result = 0
for i in range(1, m+1):
pre = 0
for j in range(1, n+1):
cur = dp[j]
if nums1[i-1] == nums2[j-1]:
dp[j] = pre + 1
result = max(result,dp[j])
else:
dp[j] = max(dp[j], dp[j-1])
pre = cur
return result三、最大子数组和
3.1 题目
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出：6 解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1] 输出：1
示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8] 输出：23
提示：
1 <= nums.length <= 10^5-10^4 <= nums[i] <= 10^4
进阶：如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。
3.2 题目链接
53.最大子数组和
3.3 解题思路和过程想法
（1）解题思路
贪心：
# 局部最优：当前“连续和”为负数时，立即放弃，从下一元素重新计算“连续和”
# 整体最优：连取最大“连续和”
动规：
# 数组：前 i 个元素的最大和dp[i]
# 递推关系：dp[i] = max(dp[i], dp[i-1]+nums[i])
（2）过程想法
贪心的思路不难，但是还是感觉动态规划更简单
3.4 代码
3.4.1 贪心策略
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
# 局部最优：当前“连续和”为负数时，立即放弃，从下一元素重新计算“连续和”
# 整体最优：连取最大“连续和”
curSum = 0
maxSum = nums[0]
for i in range(len(nums)):
curSum += nums[i]
# 连续和为正数，统计最大值
if curSum >= 0:
maxSum = max(curSum,maxSum)
# 连续和为负数，将累加值归零，重新开始累加
# 特殊情况：全是负数如 -2 -1
else:
curSum = 0
maxSum = max(maxSum,nums[i])
return maxSum3.4.2 动态规划策略
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
# 数组：前 i 个元素的最大和dp[i]
# 递推关系：dp[i] = max(dp[i], dp[i-1]+nums[i])
# 初始化
dp = [0] * len(nums)
dp[0] = nums[0]
result = dp[0]
for i in range(1,len(nums)):
dp[i] = max(nums[i], dp[i-1]+nums[i])
result = max(dp[i], result)
return result