代数学笔记8: Sylow定理

Sylow定理

$|G|=p^r\cdot m$, $(m,p)=1$, 则$G$中必有$p^r$阶子群.

证明:

应用

例子: 15阶群必定是循环群.

因为$15=3\times 5$, 所以15阶群有$3$阶群或$5$阶群, 设3阶群有$n_3$个, 5阶群有$n_5$个, 由Sylow定理:

• $n_3\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, $n_3|15$, $\Rightarrow n_3=1$.
• $n_5\equiv 1(\mathrm{mod}5)$, $n_5|15$,$\Rightarrow n_5=1$.

于是$G$是15阶群, 必有唯一的3阶群$H_1$, 5阶群$H_2$, 并且

• $H_1,H_2⊴G$, (由于Sylow-p群只有一个, 所以正规)

• $H_1{H}_2=G$, (通过阶数得到).

• $H_1\cap H_2=\{e\}$.($H_1$只有单位元以及3阶元, $H_2$只有单位元以及5阶元, )

由以上三条, 得到$G\cong H_1\times H_2\cong \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$. (循环群必交换)