代数学笔记6: 群同态基本定理,循环群结构定理

群同态

$$\begin{gathered} \rho :G_1(,\cdot )\to G_2(,\circ ) \\ g\mapsto \rho (g) \end{gathered}$$

$\forall g_1,g_2\in G$, 有$\rho (g_1\cdot g_2)=\rho (g_1)\circ \rho (g_2)$成立, 则称$\rho$为群同态(映射).

群同态基本定理

设$\rho$为一个$G_1$到$G_2$的群同态, 则$\text{Ker}\rho$是$G$一个正规子群且
$$G/\text{Ker}\rho \cong \text{Im}\rho .$$

第二同构定理

$H<G$, $N⊴G$, 则$HN<G$, $H\cap N⊴H$, 且
$$\begin{array}{rl}\rho :H/H\cap N& ⟶HN/N\\ h(H\cap N)& ⟼hN\end{array}$$
是一个同构.

证明:
只需证明:
$$\begin{array}{rl}\tilde{\rho }:H& ⟶HN/N\\ h& ⟼hN\end{array}$$
$\tilde{\rho }$为满同态, 且$\text{Ker}\tilde{\rho }=H\cap N$.

1. 先证明$HN<G$, 直接验证集合非空, 满足运算封闭以及有逆元即可.
   只需证明$HN=NH$, $(hn{)}^{-1}=n^{-1}{h}^{-1}\in NH=HN$, 于是$N⊴HN$, 即$HN/N$满足.

2. $H\cap N⊴H$, $⟺\forall h\in H,h(H\cap N)h^{-1}=H\cap N$, 因为:
   $$(hH{h}^{-1})\cap (hN{h}^{-1})=H\cap N$$

3. 满同态直接进行运算验证即可.

4. 利用群同态基本定理得到$\text{Ker}\tilde{\rho }=H\cap N$.

循环群结构定理

$n$阶循环群必同构于$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$.

有以下群满同态成立: