前缀和&差分

前缀和

解析

一、定义

​ 对于数组$A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$，若存在数组 $S$ 使得 $S_i=a_1+...+a_i$，那么就称数组 $S$ 称为数组 $A$ 的前缀和。形式基本表现为从原点开始的数据总和。

二、作用

①可以在 $O(1)$ 的复杂度算出A数组中 $a_l$ 到 $a_r$ 之间所有数的和。

② 区间前缀和可以快速算出一个区间的值的和。

模板

//一维前缀和
for(int i=1;i<=n;i++){
	cin>>a[i];s[i]=s[i-1]+a[i];
}
a[l~r]=s[r]-s[l-1];

//二维前缀和
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1];

//三维前缀和
//构造
s[i][j][k]=a[i][j][k]+s[i-1][j][k]+s[i][j-1][k]+s[i][j][k-1]
			-s[i-1][j-1][k]-s[i-1][j][k-1]-s[i][j-1][k-1]
			+s[i-1][j-1][k-1];
//调用
a[x1y1z1~x1y1z2]=s[x2][y2][z2]
				-s[x2][y1][z2]-s[x1][y2][z2]-s[x2][y2][z1]
				+s[x1][y1][z2]+s[x1][y2][z1]+s[x2][y1][z1]
				-s[x1][y1][z1];

例题

• 这里例题输入的数据量都比较大，建议使用scanf( );

一、795. 前缀和 - AcWing题库

#include 
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int temp,s[N];
int n,k;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&temp);
        s[i]=s[i-1]+temp;
    }
    while(k--){
        int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",s[r]-s[l-1]);
    }
    return 0;
}

二、796. 子矩阵的和 - AcWing题库

#include 
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int s[N][N];
int n,m,q;
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            int temp;scanf("%d",&temp);
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+temp;
        }
    }
    
    while(q--){
        int x1,x2,y1,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]+s[x1-1][y1-1]-s[x1-1][ y2]-s[x2][y1-1]);
    }
    return 0;
}

差分

解析

​ 差分是前缀和的逆运算，若A数组的前缀和是B数组，那么A数组就是B数组的差分。

​ 对于数组$A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$，若存在数组$B$使得$a_i=b_1+...+b_i$，那么就称数组B称为数组A的差分。

一维差分构造方法

$b_1=a_1,b_2=a_2-a_1,b_3=a_3-a_2,...,b_n=a_n-a_{n-1}$。

验证：$b_2+b_1=a_2$。

可以使用$O(n)$的时间从B数组得到A数组。

• 作用（常用操作）

​ 在A数组的$[l,r]$区间内加上c，即$a_l+c,a_{l+1}+c,...,a_r+c$。

​ 可以将上述操作转化为，在$b_l+c$等于在$a_l,a_{l+1},...,a_n$上都加上c。但是我们不能改变$a_r$之后的值，于是就将$b_{r+1}-c$就行了。

​ 总结：在A数组的$[l,r]$区间内加上c，等同于$b_l+c$和$b_{r+1}-c$。

二维差分

​ 同样，二维差分叶可以看成是二维前缀和的逆运算。

​ 假设有一个二维矩阵$A_{ij}$，其差分矩阵为$B_{ij}$，使得$b_{ij}$到左上角矩形的和等于$a_{ij}$。

• 作用（常用操作）

​ 在二维矩阵$A_{ij}$中的随机一个矩形，对其中每一个值加上c。

​ 与一维差分相同我们可以将上述操作进行一个转化，对$b_{ij}+c$即等于对$a_{ij}$一直到$a_{nn}$所围成的矩形都加上c，所以我们再将多余的部分减去就可以了。

​ 总结，在二维矩阵$A_{ij}$中的随机一个矩形$(x_1,y_1);(x_2,y_2)$，对其中每一个值加上c，等同于$b_{x_1{y}_1}+c$，$b_{x_2+1,y_1}-c$，$b_{x_1{y}_2+1}-c$，$b_{x_2+1,y_2+1}+c$。

模板

• 一维差分

//构造一维差分
void insert(int l,int r,int c){
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
    scanf("%d",&a[i]);
    insert(i,i,a[i]);
}
//调用操作
while(m--){
    int l,r,c;
    scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
    insert(l,r,c);
}
//前缀和
for(int i=1;i<=n;i++)b[i]+=b[i-1];

• 二维差分

//构造二维差分
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++){
        scanf("%d",&a[i][j]);
        insert(i,j,i,j,a[i][j]);
    }
//调用操作
while(q--){
    int x1,x2,y1,y2,c;
    scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
    insert(x1,y1,x2,y2,c);
}
//前缀和
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];

例题

• 一维差分

797. 差分 - AcWing题库

关键：在A数组的$[l,r]$区间内加上c，等同于$b_l+c$和$b_{r+1}-c$。

#include
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m;
int a[N],b[N];
void insert(int l,int r,int c){
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        insert(i,i,a[i]);
    }
    while(m--){
        int l,r,c;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
        insert(l,r,c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]+=b[i-1];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",b[i]);
    return 0;
}

• 二维差分

798. 差分矩阵 - AcWing题库

#include
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,m,q;
int a[N][N],b[N][N];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);
        }
    
    while(q--){
        int x1,x2,y1,y2,c;
        scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
        
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++)printf("%d ",b[i][j]);
        puts("");
    }
    return 0;
}