图的基本思想和实现
图的基本思想和实现
# 图基本定义
图由顶点和连接顶点的边的集合构成，通常表示为 G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
和线性表，树的差异:
- 线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点(Vertex)。
- 线性表可以没有元素，称为空表；树中可以没有节点，称为空树；但是，在图中不允许没有顶点(有穷非空性)。
- 线性表中的各元素是线性关系，树中的各元素是层次关系，而图中各顶点的关系是用边来表示(边集可以为空)
# 概念
- 顶点的度 (Degree)
顶点Vi的度(Degree)是指在图中与Vi相关联的边的条数。对于有向图来说，有入度(In-degree)和出度(Out-degree)之分，有向图顶点的度等于该顶点的入度和出度之和。 - 邻接 (Adjacent)
若无向图中的两个顶点V1和V2存在一条边(V1,V2)，则称顶点V1和V2邻接(Adjacent)； 若有向图中存在一条边 - 路径 (Path)
在无向图中，若从顶点Vi出发有一组边可到达顶点Vj，则称顶点Vi到顶点Vj的顶点序列为从顶点Vi到顶点Vj的路径(Path)。 连通 若从Vi到Vj有路径可通，则称顶点Vi和顶点Vj是连通(Connected)的。 - 权(Weight)
有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权(Weight)。 - 边（）
# 分类
无向图
如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边(简而言之就是没有方向的边)，则称该图为无向图(Undirected graphs)。
无向图中的边使用小括号“()”表示; 比如 (V1,V2);
有向图
如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边(简而言之就是有方向的边)，则称该图为有向图(Directed graphs)。
有向图中的边使用尖括号“<>”表示; 比如
完全图
- 无向完全图: 在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。(含有n个顶点的无向完全图有(n×(n-1))/2条边)
- 有向完全图: 在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。(含有n个顶点的有向完全图有n×(n-1)条边)
# 存储结构
邻接矩阵
用一个一位数组存储顶点，用一个二维数组（顶点的长度）存储顶点与顶点的关系。
优点：对于–>完全图，完全适配
缺点，对于–>稀疏图，浪费空间
- 无向图
我们可以设置两个数组:
顶点数组为vertex[4]={v0,v1,v2,v3}
边数组arc[4][4]为上图右边这样的一个矩阵。对于矩阵的主对角线的值全为0。顶点与自身不存在边。且关于对角线对称。
- 有向图
顶点数组为vertex[4]={v0,v1,v2,v3}。
弧数组arc[4][4]为下图右边这样的一个矩阵。主对角线上数值依然为0。但因为是有向图，所以此矩阵并不对称，比如由v1到v0有弧，得到arc[1][0]=1，而v到v没有弧，因此arc[0][1]=0。
邻接矩阵的实现
package com.piziwang.graph;
import java.io.IOException;
import java.util.Scanner;
/**
* 领接矩阵实现
* @author PIZIWANG
* @date 2022-05-10 10:48
* 输入
* vertex vnum
* edge {[v1,v2,weight],.....]
**/
public class AdjacencyMatrix {
// 顶点集合
private char[] mVexs;
// 邻接矩阵
private int[][] mMatrix;
/**
* 邻接矩阵
*/
public AdjacencyMatrix() {
// 输入"顶点数"和"边数"
System.out.printf("input vertex number: ");
int vlen = readInt();
System.out.printf("input edge number: ");
int elen = readInt();
if ( vlen < 1 || elen < 1 || (elen > (vlen*(vlen - 1)))) {
System.out.printf("input error: invalid parameters!\n");
return ;
}
// 初始化"顶点"
mVexs = new char[vlen];
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
System.out.printf("vertex(%d): ", i);
mVexs[i] = readChar();
}
// 初始化"边"
mMatrix = new int[vlen][vlen];
for (int i = 0; i < elen; i++) {
// 读取边的起始顶点和结束顶点
System.out.printf("edge(%d):", i);
char c1 = readChar();
char c2 = readChar();
int p1 = getPosition(c1);
int p2 = getPosition(c2);
if (p1==-1 || p2==-1) {
System.out.printf("input error: invalid edge!\n");
return ;
}
mMatrix[p1][p2] = 1;
mMatrix[p2][p1] = 1;
}
}
/*
* 创建图(用已提供的矩阵)
*
* 参数说明：
* vexs -- 顶点数组
* edges -- 边数组
*/
public AdjacencyMatrix(char[] vexs, char[][] edges) {
// 初始化"顶点数"和"边数"
int vlen = vexs.length;
int elen = edges.length;
// 初始化"顶点"
mVexs = new char[vlen];
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
mVexs[i] = vexs[i];
}
// 初始化"边"
mMatrix = new int[vlen][vlen];
for (int i = 0; i < elen; i++) {
// 读取边的起始顶点和结束顶点
int p1 = getPosition(edges[i][0]);
int p2 = getPosition(edges[i][1]);
mMatrix[p1][p2] = 1;
mMatrix[p2][p1] = 1;
}
}
/*
* 返回ch位置
*/
private int getPosition(char ch) {
for(int i=0; i<mVexs.length; i++) {
if(mVexs[i]==ch) {
return i;
}
}
return -1;
}
/*
* 读取一个输入字符
*/
private char readChar() {
char ch='0';
do {
try {
ch = (char)System.in.read();
} catch (IOException e) {
e.printStackTrace();
}
} while(!((ch>='a'&&ch<='z') || (ch>='A'&&ch<='Z')));
return ch;
}
/*
* 读取一个输入字符
*/
private int readInt() {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
return scanner.nextInt();
}
/*
* 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
*/
private int firstVertex(int v) {
if (v<0 || v>(mVexs.length-1)) {
return -1;
}
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
if (mMatrix[v][i] == 1) {
return i;
}
}
return -1;
}
public static void main(String[] args) {
char[] vexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
char[][] edges = new char[][]{
{'A', 'C'},
{'A', 'D'},
{'A', 'F'},
{'B', 'C'},
{'C', 'D'},
{'E', 'G'},
{'F', 'G'}};
AdjacencyMatrix pG;
// 自定义"图"(输入矩阵队列)
//pG = new MatrixUDG();
// 采用已有的"图"
pG = new AdjacencyMatrix(vexs, edges);
pG.print(); // 打印图
}
}
邻接表
优点，避免出现空间浪费，不预分配空间
邻接表由表头节点和表节点两部分组成，图中每个顶点均对应一个存储在数组中的表头节点。如果这个表头节点所对应的顶点存在邻接节点，则把邻接节点依次存放于表头节点所指向的单向链表中。
- 无向图
从上图中我们知道，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。例如: v1顶点与v0、v2互为邻接点，则在v1的边表中，adjvex分别为v0的0和v2的2。
PS: 对于无向图来说，使用邻接表进行存储也会出现数据冗余的现象。例如上图中，顶点V0所指向的链表中存在一个指向顶点V3的同事，顶点V3所指向的链表中也会存在一个指向V0的顶点
- 有向图
若是有向图，邻接表结构是类似的，但要注意的是有向图由于有方向的。因此，有向图的邻接表分为出边表和入边表(又称逆邻接表)，出边表的表节点存放的是从表头节点出发的有向边所指的尾节点；入边表的表节点存放的则是指向表头节点的某个顶点，如上图所示。
- 带权图
对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可
package com.piziwang.graph;
import java.io.IOException;
import java.util.Scanner;
/**
* udg列表
* @author piziwang
* @date 2022/05/20
*/
public class ListUDG {
/**
* 邻接表中表对应的链表的顶点
* @author piziwang
* @date 2022/05/20
*/
private class ENode {
// 该边所指向的顶点的位置
int ivex;
// 指向下一条弧的指针
ENode nextEdge;
}
/**
* 邻接表中表的顶点
* @author piziwang
* @date 2022/05/20
*/
private class VNode {
// 顶点信息
char data;
// 指向第一条依附该顶点的弧
ENode firstEdge;
};
// 顶点数组
private VNode[] mVexs;
/*
* 创建图(自己输入数据)
*/
public ListUDG() {
// 输入"顶点数"和"边数"
System.out.printf("input vertex number: ");
int vlen = readInt();
System.out.printf("input edge number: ");
int elen = readInt();
if ( vlen < 1 || elen < 1 || (elen > (vlen*(vlen - 1)))) {
System.out.printf("input error: invalid parameters!\n");
return ;
}
// 初始化"顶点"
mVexs = new VNode[vlen];
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
System.out.printf("vertex(%d): ", i);
mVexs[i] = new VNode();
mVexs[i].data = readChar();
mVexs[i].firstEdge = null;
}
// 初始化"边"
//mMatrix = new int[vlen][vlen];
for (int i = 0; i < elen; i++) {
// 读取边的起始顶点和结束顶点
System.out.printf("edge(%d):", i);
char c1 = readChar();
char c2 = readChar();
int p1 = getPosition(c1);
int p2 = getPosition(c2);
// 初始化node1
ENode node1 = new ENode();
node1.ivex = p2;
// 将node1链接到"p1所在链表的末尾"
if(mVexs[p1].firstEdge == null) {
mVexs[p1].firstEdge = node1;
} else {
linkLast(mVexs[p1].firstEdge, node1);
}
// 初始化node2
ENode node2 = new ENode();
node2.ivex = p1;
// 将node2链接到"p2所在链表的末尾"
if(mVexs[p2].firstEdge == null) {
mVexs[p2].firstEdge = node2;
} else {
linkLast(mVexs[p2].firstEdge, node2);
}
}
}
/*
* 创建图(用已提供的矩阵)
*
* 参数说明：
* vexs -- 顶点数组
* edges -- 边数组
*/
public ListUDG(char[] vexs, char[][] edges) {
// 初始化"顶点数"和"边数"
int vlen = vexs.length;
int elen = edges.length;
// 初始化"顶点"
mVexs = new VNode[vlen];
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
mVexs[i] = new VNode();
mVexs[i].data = vexs[i];
mVexs[i].firstEdge = null;
}
// 初始化"边"
for (int i = 0; i < elen; i++) {
// 读取边的起始顶点和结束顶点
char c1 = edges[i][0];
char c2 = edges[i][1];
// 读取边的起始顶点和结束顶点
int p1 = getPosition(edges[i][0]);
int p2 = getPosition(edges[i][1]);
// 初始化node1
ENode node1 = new ENode();
node1.ivex = p2;
// 将node1链接到"p1所在链表的末尾"
if(mVexs[p1].firstEdge == null) {
mVexs[p1].firstEdge = node1;
} else {
linkLast(mVexs[p1].firstEdge, node1);
}
// 初始化node2
ENode node2 = new ENode();
node2.ivex = p1;
// 将node2链接到"p2所在链表的末尾"
if(mVexs[p2].firstEdge == null) {
mVexs[p2].firstEdge = node2;
} else {
linkLast(mVexs[p2].firstEdge, node2);
}
}
}
/*
* 将node节点链接到list的最后
*/
private void linkLast(ENode list, ENode node) {
ENode p = list;
while(p.nextEdge!=null) {
p = p.nextEdge;
}
p.nextEdge = node;
}
/*
* 返回ch位置
*/
private int getPosition(char ch) {
for(int i=0; i<mVexs.length; i++) {
if(mVexs[i].data==ch) {
return i;
}
}
return -1;
}
/*
* 读取一个输入字符
*/
private char readChar() {
char ch='0';
do {
try {
ch = (char)System.in.read();
} catch (IOException e) {
e.printStackTrace();
}
} while(!((ch>='a'&&ch<='z') || (ch>='A'&&ch<='Z')));
return ch;
}
/*
* 读取一个输入字符
*/
private int readInt() {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
return scanner.nextInt();
}
/*
* 深度优先搜索遍历图的递归实现
*/
private void DFS(int i, boolean[] visited) {
ENode node;
visited[i] = true;
System.out.printf("%c ", mVexs[i].data);
node = mVexs[i].firstEdge;
while (node != null) {
if (!visited[node.ivex]) {
DFS(node.ivex, visited);
}
node = node.nextEdge;
}
}
/*
* 打印矩阵队列图
*/
public void print() {
System.out.printf("List Graph:\n");
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
System.out.printf("%d(%c): ", i, mVexs[i].data);
ENode node = mVexs[i].firstEdge;
while (node != null) {
System.out.printf("%d(%c) ", node.ivex, mVexs[node.ivex].data);
node = node.nextEdge;
}
System.out.printf("\n");
}
}
public static void main(String[] args) {
char[] vexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
char[][] edges = new char[][]{
{'A', 'C'},
{'A', 'D'},
{'A', 'F'},
{'B', 'C'},
{'C', 'D'},
{'E', 'G'},
{'F', 'G'}};
ListUDG pG;
// 自定义"图"(输入矩阵队列)
//pG = new ListUDG();
// 采用已有的"图"
pG = new ListUDG(vexs, edges);
pG.print(); // 打印图
}
}