排序算法介绍（五）归并排序

0. 简介

        归并排序（Merge Sort）是一种分治思想的应用，它将待排序的数组不断拆分成小数组，直到每个小数组只有一个元素，然后将小数组两两合并，直到最终得到有序的数组。

---

1. 归并排序的实现

归并排序的基本思想：

1. 分解：将待排序的数组从中间分成两部分，递归地对左右两部分进行分解，直到每个小数组只有一个元素，这时可以认为每个小数组是有序的。
2. 解决：将两个有序的小数组合并成一个有序的数组。可以使用双指针法，比较两个数组的元素大小，按照从小到大的顺序将元素放入新的数组中。
3. 合并：递归地将左右两个有序的数组合并成一个更大的有序数组，直到最终得到整个有序数组。

归并排序过程演示：

---

2. 归并排序时空间复杂度分析

归并排序的时间复杂度和空间复杂度分析如下：

1. 时间复杂度：

   • 归并排序的时间复杂度是 O(n log n)，其中 n 是待排序数组的长度。这是因为归并排序采用分治策略，每次将数组分成两半进行递归排序，然后再合并。在每一层递归中，需要对所有元素进行比较和移动，所以每层的时间复杂度是 O(n)。由于递归的深度是 log n，因此总的时间复杂度是 O(n log n)。

2. 空间复杂度：

   • 归并排序的空间复杂度是 O(n)。这是因为在合并过程中，需要创建一个临时数组来存储两个有序子数组的元素。临时数组的大小与原数组相同，所以空间复杂度是 O(n)。需要注意的是，这个空间复杂度是额外的空间，不包括递归调用所使用的栈空间。如果考虑递归调用的栈空间，最坏情况下的空间复杂度将达到 O(n log n)。

综上所述，归并排序的时间复杂度是 O(n log n)，空间复杂度是 O(n)。

---

3. 归并排序C语言代码

C代码实现：

#include   
  
// 合并两个有序数组  
void merge(int arr[], int l, int m, int r) {  
    int i, j, k;  
    int n1 = m - l + 1;  
    int n2 = r - m;  
  
    // 创建临时数组  
    int L[n1], R[n2];  
  
    // 将数据拷贝到临时数组  
    for (i = 0; i < n1; i++)  
        L[i] = arr[l + i];  
    for (j = 0; j < n2; j++)  
        R[j] = arr[m + 1 + j];  
  
    // 合并临时数组到原数组  
    i = 0;  
    j = 0;  
    k = l;  
    while (i < n1 && j < n2) {  
        if (L[i] <= R[j]) {  
            arr[k] = L[i];  
            i++;  
        } else {  
            arr[k] = R[j];  
            j++;  
        }  
        k++;  
    }  
  
    // 将剩余元素拷贝到原数组  
    while (i < n1) {  
        arr[k] = L[i];  
        i++;  
        k++;  
    }  
    while (j < n2) {  
        arr[k] = R[j];  
        j++;  
        k++;  
    }  
}  
  
// 归并排序函数  
void mergeSort(int arr[], int l, int r) {  
    if (l < r) {  
        int m = l + (r - l) / 2; // 计算中间位置  
        mergeSort(arr, l, m); // 对左半部分递归排序  
        mergeSort(arr, m + 1, r); // 对右半部分递归排序  
        merge(arr, l, m, r); // 合并左右两部分  
    }  
}  
  
// 测试代码  
int main() {  
    int arr[] = { 12, 11, 13, 5, 6, 7 };  
    int arr_size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);   
    mergeSort(arr, 0, arr_size - 1); // 对数组进行归并排序  
    printf("Sorted array:\n");  
    for (int i = 0; i < arr_size; i++) {  
        printf("%d ", arr[i]);  
    }  
    printf("\n");  
    return 0;  
}

代码解释：

merge 函数：

1. int n1 = m - l + 1; 和 int n2 = r - m;：这两行代码计算两个子数组的长度。n1 是左子数组的长度，n2 是右子数组的长度。
2. int L[n1], R[n2];：我们创建两个临时数组 L 和 R 来存储左子数组和右子数组的元素。
3. 接下来的两个循环将左子数组和右子数组的元素拷贝到临时数组 L 和 R 中。
4. 然后，我们使用三个指针 i, j, 和 k 来合并这两个有序的子数组。指针 i 和 j 分别指向临时数组 L 和 R 的当前元素，而指针 k 指向原数组 arr 的当前位置。
5. 在合并的过程中，我们比较 L[i] 和 R[j] 的值，并将较小的元素放入原数组 arr 中。这个过程会一直持续到我们遍历完 L 或 R 中的所有元素。
6. 最后，我们将剩余的元素（如果有的话）从 L 或 R 拷贝到原数组 arr 中。

mergeSort 函数：

1. if (l < r) { ... }：这个条件用于判断数组是否至少包含两个元素。如果只有一个元素或没有元素，那么数组已经是有序的，不需要进一步排序。
2. int m = l + (r - l) / 2;：这行代码计算数组的中间位置。我们通过将数组的长度 (r - l) 除以 2 并加上起始索引 l 来得到中间位置 m。
3. mergeSort(arr, l, m); 和 mergeSort(arr, m + 1, r);：这两行代码递归地对左子数组和右子数组进行排序。递归的终止条件是子数组的长度为 1 或 0。
4. merge(arr, l, m, r);：当左子数组和右子数组都被排序后，我们使用 merge 函数将它们合并成一个有序的数组。

---

4. 归并排序代码运行结果

代码运行结果：