力扣222. 完全二叉树的节点个数

二分法

• 思路：
  • 明确完全二叉树的定义：

    一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

  • 如果定义根节点深度为 0，则每层第一个节点到最后一个节点的取值为：
    • [2^h, 2^(h+1) - 1]
  • 可以一直向左遍历出二叉树的深度，则可知这棵树的节点个数范围；
  • 然后通过二分法，确认编号节点是否在二叉树上：
    • 在二叉树上，更新左边界：min = mid；
    • 不在二叉树上，更新右边界：max = mid - 1；
  • 判断编号 k 节点是否在这颗树上：

    如果第 k 个节点位于第 h 层，则 k 的二进制表示包含 h+1位，其中最高位是 1，其余各位从高到低表示从根节点到第 k 个节点的路径，0 表示移动到左子节点，1 表示移动到右子节点。通过位运算得到第 k 个节点对应的路径，判断该路径对应的节点是否存在，即可判断第 k 个节点是否存在。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if (nullptr == root) {
            return 0;
        }

        int depth = 0;
        TreeNode* node = root;
        while (node->left != nullptr) {
            depth++;
            node = node->left;
        }

        // 2^depth
        int min = 1 << depth;
        // 2^(depth + 1) - 1
        int max = (1 << (depth + 1)) - 1;

        while (min < max) {
            int mid = (max - min + 1) / 2 + min;
            if (exist(root, depth, mid)) {
                min = mid;
            } else {
                max = mid - 1;
            }
        }

        return min;
    }

private:
    bool exist(TreeNode* root, int depth, int k) {
        int bits = 1 << (depth - 1);
        TreeNode* node = root;
        while (node != nullptr && bits > 0) {
            if (!(bits & k)) {
                node = node->left;
            } else {
                node = node->right;
            }

            bits >>= 1;
        }

        return (node != nullptr);
    }
};