二叉树——堆的数组实现

数据结构——二叉树

1. 树的概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

注意：

树是递归定义的。

根结点：是一个特殊的结点，他没有前驱结点。

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的与树类似结构的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构 。

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct TreeNode
{
	DataType data; // 结点中的数据域
    struct TreeNode* Child; // 第一个孩子结点
	struct TreeNode* Brother; // 指向其下一个兄弟结点
};

2. 二叉树概念及结构

2.1 概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。（二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树）

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树：每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于一个N层的二叉树，前N-1层是满的，最后一层可以不满，但是必须从左到右是连续的，则这个二叉树就是完全二叉树。

高度为N的满二叉树节点个数 = 2^0 + 2^1 + …… +2^(N-1) = 2^N - 1；

高度为N的完全二叉树节点个数：

最大数 = 2^N - 1；

最小数 = 2^(N-1)。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第N层上最多有2^(N-1)个结点；

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为N的二叉树的最大结点数是2^N - 1；

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为N0 , 度为2的分支结点个数为N2 ,则有N0＝N2 ＋1；

4. 若规定根节点的层数为1，具有N个结点的满二叉树的深度，h= log2(N+1)； (ps：是log以2为底，n+1为对数)；

5. 对于具有N个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

（1）若i>0，i位置节点的父节点序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无父节点。

（2）若2i+1=n，则无左孩子。

（3）若2i+2=n，则无右孩子。

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序结构

   顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

   

2. 链式存储

   二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。

   

   

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储。

需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段

3.2 堆的概念及结构

堆是一棵完全二叉树（一个N层的二叉树，前N-1层是满的，最后一层可以不满，但是必须从左到右是连续的）。

堆中所有的父节点的值都小于（或大于）子节点的值，则将这个堆称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

3.3 堆的实现

3.3.1 堆的插入

首先我们给一个初始为小堆的完全二叉树：

int a[] = {15,18,19,25,28,34,65,49,27,37};

假设我们插入10到数组的尾端，但我们不能保证它依然是一个堆。

有两种情况：

插入的该节点的值比它的祖先大，依然是一个堆，不需要调整。

但是插入的该节点的值比它的祖先小的时候，就不满足了，我们需要判断它与祖先的大小关系，再进行向上调整算法，直到满足堆。

因为堆是以数组存储的，根据公式parent =（child - 1）/ 2，我们能很轻易地找到插入节点的祖先进而比较大小关系，调整位置。

void Swap(HPDataType* p1,HPDataType* p2)
{
    HPDataType temp = *p1;
    *p1 = *p2;
    *p2 = temp;
}

void Adjustup(HPDataType* a,int child)
{
    int parent = (child - 1) / 2;
    while(child > 0)
    {
        if(a[parent] > a[child])
        {
            Swap(&a[parent],&a[child]);
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2;
        }
        else
        {
            break;
        }    
    }
}

void HeapPush(HP* php,HPDataType x)
{
    assert(php);
    
    if(php->size == php->capacity)
    {
        int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
        HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(php->a,sizeof(HPDataType) * newcapacity);
        if(temp == NULL)
        {
            perror("realloc fail");
            exit(-1);
        }
        php->a = temp;
        php->capacity = newcapacity;
    }
    
    php->a[php->size] = x;
    php->size++;
    Adjustup(php->a,php->size-1);
}

3.3.2 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		// 确认child指向的是小的，并且有右孩子（如果只有一个孩子就不需要判断孩子之间的大小关系，直接与父节点比较）
		if (a[child + 1] < a[child] && child+1 < n)
		{
			child++;
		}
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swap(&a[parent],&a[child]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

3.3.3 堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

void HeapCreate(HP* php, HPDataType* a, int n)
{
	assert(php);

	php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	if (php->a == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);
	php->size = php->capacity = n;

	// 建堆算法
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(php->a, n, i);
	}
}

3.3.4 建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

因此：建堆的时间复杂度为O(N)。

3.3.5 堆的代码实现

typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

// 堆的构建
void HeapCreate(HP* php, HPDataType* a, int n);
// 堆的打印
void HeapPrint(HP* php);
// 堆的初始化
void HeapInit(HP* php);
// 堆的销毁
void HeapDestroy(HP* php);
// 堆的插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
// 堆的向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
// 堆的删除
void HeapPop(HP* php);
// 堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(HP* php);
// 堆的数据个数
int HeapSize(HP* php);
// 堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php);

3.4 堆的应用

3.4.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆
   升序：建大堆
   降序：建小堆
2. 利用堆删除思想来进行排序
   建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

void HeapSort(int* a,int n)
{
	// 向下调整建堆，必须保证下面是堆，从下往上开始调整
    // 升序，建大堆
	for (int i = (n-1-1)/2; i >=0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
	
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		end--;
	}

	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	printf("\n");
}

3.4.2 TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

要得到前k个最大的元素，则建小堆
要得到前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

   将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
	int k = 5;
	int minHeap[5];

	FILE* fout = fopen("Data.txt", "r");
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen fail");
		return;
	}
	// 先建一个前k个数的堆
	// 读取数据到数组中
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(fout, "%d", &minHeap[i]);
	}
	// 调整为小堆
	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(minHeap, k, i);
	}

	// 遍历数据与堆顶比较
	int val = 0;
	while (fscanf(fout, "%d", &val) != EOF)
	{
		if (val > minHeap[0])
		{
			minHeap[0] = val;
			AdjustDown(minHeap, k, 0);
		}
	}
    // 排序
	int end = k - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&minHeap[0], &minHeap[end]);
		AdjustDown(minHeap, end, 0);
		end--;
	}
	for (int i = 0; i < k; ++i)
	{
		printf("%d ", minHeap[i]);
	}
	printf("\n");
	fclose(fout);
}

"Data.txt"
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