LeetCode-470. 用 Rand7() 实现 Rand10()【数学 拒绝采样 概率与统计 随机化】

题目描述：

给定方法 rand7 可生成 [1,7] 范围内的均匀随机整数，试写一个方法 rand10 生成 [1,10] 范围内的均匀随机整数。

你只能调用 rand7() 且不能调用其他方法。请不要使用系统的 Math.random() 方法。

每个测试用例将有一个内部参数 n，即你实现的函数 rand10() 在测试时将被调用的次数。请注意，这不是传递给 rand10() 的参数。

示例 1:
输入: 1
输出: [2]

示例 2:
输入: 2
输出: [2,8]

示例 3:
输入: 3
输出: [3,8,10]

提示:
1 <= n <= 105

进阶:
rand7()调用次数的 期望值 是多少 ?
你能否尽量少调用 rand7() ?

解题思路一：首先说一个结论就是(rand_X() - 1) × Y + rand_Y() ==> [1,X*Y]，即可以等概率的生成[1, X * Y]范围的随机数，其实就像军训的时候报数，Y是每一行的人数，X是列数【参考下面的图】。第二就是拒绝采样，效果是能够减少调用rand7()的调用次数。我们在利用(rand_7() - 1) × 7 + rand_7() ==> [1,7*7]得到rand49()的时候，我们希望能够等概率的生成[1,10]的随机数，那么可以拒绝掉大于40的数。即if num<=40:才进行采样。

为了充分利用被拒绝的采样结果，即舍弃掉[41, 49]这9个数。我们可以使用a = num - 40得到rand9，从而可以得到(rand_9() - 1) × 7 + rand_7() ==> [1,9*7]得到rand63，从而对rand63进行采样。这样之后的就不难理解了。

# The rand7() API is already defined for you.
# def rand7():
# @return a random integer in the range 1 to 7

class Solution:
    def rand10(self):
        """
        :rtype: int
        """
        while True:
            a = rand7()
            b = rand7()
            num = (a-1)*7 + b # rand49
            if num<=40:
                return num%10 + 1
            a = num - 40 # rand9
            b = rand7()
            num = (a-1)*7 + b # rand63
            if num<=60:
                return num%10 + 1
            a = num - 60 # rand3
            b = rand7()
            num = (a-1)*7 + b # rand21
            if num<=20:
                return num%10 + 1

时间复杂度：期望时间复杂度为O(1)，但最坏情况下会达到 (∞)（一直被拒绝）。
空间复杂度：O(1)
分析一下rand7()调用次数的 期望值：
首先调用2次得到a,b
然后拒绝采样一次概率是9/49
第二次是9/49 * 3/63
第三次是9/49 * 3/63 * 1/21就是进入下一轮while循环了。所以是一个等比数列。
$$\begin{array}{rl}a& =2+\frac{9}{49}+\frac{9}{49}\cdot \frac{3}{63}//\text{是每次采样成功的概率}\\ b& =\frac{9}{49}\cdot \frac{3}{63}\cdot \frac{1}{21}//\text{是每次进入下一轮循环的概率(等比数列的公比)}\\ E(\#call)& =a\cdot \frac{1}{1-b}\\ & \approx 2.19333\end{array}$$
所以期望次数是2.19332

解题思路二：0

解题思路三：0