空间中线面角的求法

方法一 垂线法求空间中的线面角

垂线法求空间中的线面角

使用情景：空间中线面角的求法
解题步骤：

第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；
第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；
第三步 得出结论.
例3如图，四边形是矩形，，，是的中点，与交于点，平面.

（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.

【分析】
（Ⅰ）要证与平面垂直，只要证与平面内两条相交直线垂直，由已知垂直于底面，有垂直，另外可以在矩形中证明垂直于（可用相似三角形证明角相等）；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦，可用体积法求出到平面的距离，则就是所求正弦值，而求棱锥的体积可通过来求得．

【解析】

（Ⅰ）证法1：

因为四边形为矩形，

所以；

所以

又因为矩形中，，

所以，

在中，

，

在中，

，即

平面，平面，

又，，平面，

面.

证法2：（坐标法）证明，得，往下同证法1．
证法3：（向量法）以，为基底，

，，

∴，往下同证法1．

（Ⅱ）在中，.

在中，

在中，，，

设点到平面的距离为，则

设直线与平面所成角的大小为，

则.

【总结】解决直线与平面所成的角的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角.

方法二 空间向量法求空间中的线面角

空间向量法求空间中的线面角

使用情景：空间中线面角的求法
解题步骤：

第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；
第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；
第三步 再利用即可得出结论.
【例】 正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（ ）
A．

B．

C．

D．
【答案】A

【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，

，，

设为平面的一个法向量，

则，即，

设，则

设与平面所成的角为，

则.

【总结】：空间向量法解直线与平面所成的角的关键是正确的写出各点的空间直角坐标和平面的法向量的坐标形式.