在训练参数化机器学习模型时,权重衰减(decay weight)是最广泛应用的正则化技术之一,它通常也被称为 L 2 L_2 L2正则化。这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度,
因为在所有函数 f f f中,函数 f = 0 f = 0 f=0(所有输入都得到值 0 0 0)
在某种意义上是最简单的。
一种简单的方法是通过线性函数
f ( x ) = w ⊤ x f(\mathbf{x}) = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} f(x)=w⊤x
中的权重向量的某个范数来度量其复杂性,
例如 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2。
要保证权重向量比较小,
最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。
将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失,
调整为最小化预测损失和惩罚项之和。
损失由下式给出:
L ( w , b ) = 1 n ∑ i = 1 n 1 2 ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) 2 . L(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2. L(w,b)=n1i=1∑n21(w⊤x(i)+b−y(i))2.
x ( i ) \mathbf{x}^{(i)} x(i)是样本 i i i的特征,
y ( i ) y^{(i)} y(i)是样本 i i i的标签,
( w , b ) (\mathbf{w}, b) (w,b)是权重和偏置参数。
为了惩罚权重向量的大小,
必须以某种方式在损失函数中添加 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2,
我们通过正则化常数 λ \lambda λ来描述这种权衡,
这是一个非负超参数,我们使用验证数据拟合:
L ( w , b ) + λ 2 ∥ w ∥ 2 , L(\mathbf{w}, b) + \frac{\lambda}{2} \|\mathbf{w}\|^2, L(w,b)+2λ∥w∥2,
对于 λ = 0 \lambda = 0 λ=0,我们恢复了原来的损失函数。
对于 λ > 0 \lambda > 0 λ>0,我们限制 ∥ w ∥ \| \mathbf{w} \| ∥w∥的大小。
这里我们仍然除以 2 2 2:当我们取一个二次函数的导数时,
2 2 2和 1 / 2 1/2 1/2会抵消。
通过平方 L 2 L_2 L2范数,我们去掉平方根,留下权重向量每个分量的平方和。
这使得惩罚的导数很容易计算:导数的和等于和的导数。
L 2 L_2 L2正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式:
w ← ( 1 − η λ ) w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B x ( i ) ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) . \begin{aligned} \mathbf{w} & \leftarrow \left(1- \eta\lambda \right) \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned} w←(1−ηλ)w−∣B∣ηi∈B∑x(i)(w⊤x(i)+b−y(i)).
我们根据估计值与观测值之间的差异来更新 w \mathbf{w} w。
然而,我们同时也在试图将 w \mathbf{w} w的大小缩小到零。
这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。
我们仅考虑惩罚项,优化算法在训练的每一步衰减权重。
与特征选择相比,权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。
较小的 λ \lambda λ值对应较少约束的 w \mathbf{w} w,
而较大的 λ \lambda λ值对 w \mathbf{w} w的约束更大。
是否对相应的偏置 b 2 b^2 b2进行惩罚在不同的实践中会有所不同,
在神经网络的不同层中也会有所不同。
通常,网络输出层的偏置项不会被正则化。
%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
首先生成数据,生成公式如下:
y = 0.05 + ∑ i = 1 d 0.01 x i + ϵ where ϵ ∼ N ( 0 , 0.0 1 2 ) . y = 0.05 + \sum_{i = 1}^d 0.01 x_i + \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2). y=0.05+i=1∑d0.01xi+ϵ where ϵ∼N(0,0.012).
选择标签是关于输入的线性函数。
标签同时被均值为0,标准差为0.01高斯噪声破坏。
为了使过拟合的效果更加明显,我们可以将问题的维数增加到 d = 200 d = 200 d=200,
并使用一个只包含20个样本的小训练集。
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)
定义一个函数来随机初始化模型参数
def init_params():
w = torch.normal(0, 1, size = (num_inputs, 1), requires_grad = True)
b = torch.zeros(1, requires_grad = True)
return [w, b]
def l2_penalty(w):
return torch.sum(w.pow(2)) / 2
下面的代码将模型拟合训练数据集,并在测试数据集上进行评估。
def train(lambd):
w, b = init_params()
net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
num_epochs, lr = 100, 0.003
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
# 增加了L2范数惩罚项,
# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
l.sum().backward()
d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数是:', torch.norm(w).item())
用lamdb=0禁用权重衰减后运行代码。此时训练误差有所减少,但测试误差没有减少,这意味着出现了严重的过拟合。
train(lambd = 0)
w的L2范数是: 14.971677780151367
使用权重衰减来运行代码。此时训练误差增大,但测试误差减小。这正是我们期望从正则化中得到的效果。
train(lambd = 3)
w的L2范数是: 0.34405317902565
在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。默认情况下,PyTorch同时衰减权重和便宜。这里只为权重设置了weight_decay,所以偏置参数 b b b不会衰减。
def train_concise(wd):
net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
for param in net.parameters():
param.data.normal_()
loss = nn.MSELoss(reduction='none')
num_epochs, lr = 100, 0.003
# 偏置参数没有衰减
trainer = torch.optim.SGD([
{"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
{"params":net[0].bias}], lr=lr)
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
trainer.zero_grad()
l = loss(net(X), y)
l.mean().backward()
trainer.step()
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1,
(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数:', net[0].weight.norm().item())
train_concise(0)
w的L2范数: 13.416662216186523
train_concise(3)
w的L2范数: 0.39273694157600403