【数据结构】二叉树概念即结构的基础知识详解

目录

1.树概念及结构

2.二叉树概念及结构

2.1概念

2.2 特殊的二叉树：

2.3 二叉树的性质

2.4 二叉树的存储结构

3.二叉树顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

3.2 堆的概念及结构

3.3 堆的实现

3.3.1 堆向下调整算法

3.2.2 堆的插入

3.2.3 堆的删除

4.二叉树链式结构及实现

4.1二叉树的遍历

4.1.1 前序、中序以及后序遍历

---

1.树概念及结构

  1.1树的概念

  树是一种 非线性的数据结构 ，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有 层次关系 的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

  有一个特殊的结点，称为 根结点 ，根节点没有前驱结点除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继因此，树是 递归 定义的。

 

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

 

1.2 树的相关概念

 

节点的度： 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点： 度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点 ：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点： 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度： 一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度： 树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点： 双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先： 从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙： 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林： 由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

 1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

---

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 满或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的： 

2.2 特殊的二叉树：

1. 满二叉树： 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k)-1，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是 满二叉树是一种特殊的完全二叉树 。  

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是(2^h)-1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有n0=n2 ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
• 若2i+1=n否则无左孩子
• 若2i+2=n否则无右孩子

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组 只适合表示完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。 二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。

---

3.二叉树顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的 空间浪费 。而完全二叉树更适合使用 顺序结构存储 。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储.

3.2 堆的概念及结构

堆的性质： 

1. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
2. 堆总是一棵完全二叉树。

3.3 堆的实现

3.3.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

 

3.2.2 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

 

3.2.3 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

 下面是堆的代码实现：

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = 0;
	tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
void AdjustDwon(HPDataType* a, int size, int parent)
{
	int child = a[parent * 2 + 1] > a[parent * 2 + 2] ?( parent * 2 + 2) :( parent * 2 + 1);
	while (child a[child])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
		}
		else
		{
			break;
		}
		parent = child;
		if ( parent*2+1==size)
		{
			break;
		}
		else if (parent * 2 + 2 == size)
		{
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			child = a[parent * 2 + 1] > a[parent * 2 + 2] ? parent * 2 + 2 : parent * 2 + 1;
		}			
	}
}
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = child / 2;
	while (child>=0)
	{
		if (parent > child)
		{
			Swap(&a[child],&a[parent]);
		}
		else
		{
			break;
		}
		child = parent;
		parent = child / 2;
	}
}
void HeapPrint(HP* php)
{
	for (int i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}printf("\n");
}
void HeapInit(HP* php)
{
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
	php->a = NULL;
}
void HeapDestroy(HP* php)
{
	php->size = php->capacity = 0;
	free(php->a);
	php->a = NULL;
}
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	if (php->size == php->capacity)
	{
		php->capacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp=realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * php->capacity);
		if (tmp)
		{
			php->a = tmp;
		}
		else
		{
			printf("realloc fail");
			exit(-1);
		}
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
	AdjustUp(php->a, php->size);
}
void HeapPop(HP* php)
{
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;
	AdjustDwon(php->a, php->size, 0);
}
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	return php->a[0];
}
bool HeapEmpty(HP* php)
{
	return php->a[0] == NULL;
}
int HeapSize(HP* php)
{
	return php->size;
}

---

4.二叉树链式结构及实现

二叉树是：

1. 空树

2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

 从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

4.1二叉树的遍历

4.1.1 前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

• 前序遍历(亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
• 中序遍历——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
• 后序遍历——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root)
{
	if(root==NULL)
	{
		return;
	}
	printf("%d ", root->data);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	PreOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);

	PreOrder(root->right);

}
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}
//二叉树层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (front)
		{
			printf("%d ", front->val);
			if (front->left)
			{
				QueuePush(&q, front->left);
			}
			if (front->right)
			{
				QueuePush(&q, front->right);
			}
		}
	}
	printf("\n");
	QueueDestory(&q);
}