总结了一些常见的概率与统计类的数据分析面试题，不定期更新......
随机变量的含义
一个随机事件的所有可能的值X，且每个可能值X都有确定的概率P，X就是P(X)的随机变量。比如掷骰子中出现的点数
随机变量和随机试验间有什么关系
- 随机试验：相同条件下对某随机现象进行的大量重复观测的试验，如掷硬币100次统计正面朝上的次数
- 随机变量是用来描述随机试验结果的。
划分连续型随机变量和离散型随机变量的依据
- 离散型随机变量：随机变量X能被一一列举出来，如一批产品中次品的数量，某地区人口的出生数等。
- 连续型随机变量：随机变量X不能被一一列举出来，如一批电子元器件的寿命，身高、体重等。
所以划分二者的依据是随机变量是否可数
变量独立和不相关的区别
若X和Y不相关，通常认为X和Y之间是没有线性关系，但不排除没有其他关系
若X和Y独立，是没有关系，互不干扰
因此，“不相关”是一个比“独立”要弱的概念
常见分布的分布函数/概率密度函数，以及分布的特性。
分别从离散型和连续型两方面说：
离散型随机变量的分布
- 二项分布
进行一系列独立试验 -> 每一次试验都存在成功和失败的可能，且成功的概率相同 -> 试验次数有限。
二项分布记做X~B(n,p)，X表示n次试验中的成功次数,我们要求的是成功的次数
如发放100张优惠券，其中x张优惠券被使用的概率就是一个二项分布。
- 伯努利分布
0-1分布，每次试验的结果只有2种，是n=1的二项分布的特殊情况
如掷硬币，只有正面朝上或反面朝上两种情况
几何分布
独立试验->拿到一种卡片的概率相同->为了集齐卡片要进行多少次试验泊松分布
单独事件在给定区间内随机、独立地发生（给定区间可以是时间或空间） -> 已知该区间内的事件平均发生次数，且为有限数值。
如某加油站，平均每小时来加油的车辆为10辆，泊松分布求的这个加油站每小时前来加油的车辆次数的概率
关于离散型随机变量分布可参考：
连续型随机变量的分布
-
正态分布
又叫高斯分布，正态分布通过参数平均值和方差确定
-
均匀分布
也叫矩形分布，概率密度函数的结果是一个固定的数值
均匀分布在自然情况下极为罕见，它的概率密度函数为：
- 指数分布
指数分布是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。如旅客进机场的时间间隔，还有许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。
其概率密度函数为：
指数分布具有无记忆的关键性质。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。
关于连续型随机变量的分布，可参考：
协方差和相关系数的区别
- 协方差
只表示相关的方向
衡量两个变量的总体误差，方差是协方差的特殊情况，即当两个变量是相同的情况。
如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值（你变大，我也变大，协方差就是正的）。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。
也就是说，协方差为正，表示两个变量同变化，为负，不同变化
并且协方差的绝对值不反映线性相关的程度（其绝对值与变量的取值范围有关系）
但是嘞协方差为0的两个随机变量是不相关的
- 相关系数
不仅表示线性相关的方向，还能衡量其相关程度
研究变量之间线性相关程度的量，取值范围是[-1,1]。
相关系数也可以看成协方差：一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差。
中位数是否等于期望
标准正态分布中位数等于期望
右偏（正偏）态时，中位数小于期望
左偏（负偏）态时，中位数大于期望
正态分布的基本特征是什么
正态分布又叫高斯分布，是一个钟形曲线，曲线对称，中央部分的概率密度最大，越往两边，概率密度越小。μ决定了曲线的中央位置，σ决定了曲线的分散性，σ越大，曲线越平缓，σ越小，曲线越陡峭。
很多实际问题都是符合正态分布的，如身高、体重等。正态分布在质量管理中也应用的非常广泛，“3σ原则”就是在正态分布的原理上建立的。
3σ原则是：
- 数值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率为0.6826
- 数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544
- 数值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974
因此可以认为,Y 的取值几乎全部集中在（μ—3σ,μ+3σ)]区间内,超出这个范围的可能性仅占不到0.3%，这是一个小概率事件，通常在一次试验中是不会发生的，一旦发生就可以认为质量出现了异常。
列举常用的大数定律及其区别
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。
在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷了n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1/2。这就是大数定律。
随机变量X随着试验次数的增加，X的均值会越发趋近于E(X)
中心极限定理
假设一组随机变量相互独立且同分布，当n足够大时，均值的分布接近于正态分布
中心极限定理作用：
（1）在没有办法得到总体全部数据的情况下，我们可以用样本来估计总体。
（2）根据总体的平均值和标准差，判断某个样本是否属于总体。
假设检验的基本思想
小概率反证法。即为了检验一个假设是否成立，我们先假设它成立，在原假设成立的前提下，如果出现了不合理的事件，则说明样本与总体的差异是显著的，就拒绝原假设，如果没有出现不合理的事件，就不拒绝原假设。
这里所述的不合理的事件指的就是小概率事件，通常情况下我们认为一个小概率事件基本上不会发生，如果发生了，说明它就不是一个小概率事件了，所以要拒绝原假设。
假设检验中的两类错误
第I类错误：弃真，原假设为真，却被我们拒绝了。
第II类错误：取伪，原假设为假，却没被拒绝。
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如何平衡这两类错误？
我们要尽可能地将犯两类错误的概率降到最低。但是，在样本容量固定的前提下，减少犯第I类错误的概率，必然会增加犯第II类错误的概率，一般来说，我们总是先控制犯第I类错误的概率，使它不大于显著性水平。而犯第II类错误的概率依赖于样本容量的大小，因此对样本容量的选择上，也要有所考量。
解释P值显著性水平
- P值：当原假设为真时，样本观察结果或更极端的结果出现的概率就是P值
区分显著性水平和置信区间
- 显著性水平：希望在样本结果的不可能程度达到多大时，就拒绝原假设，也就是小概率事件发生的概率。则是假设真值是多少，然后检验这个假设是否可能为真。
- 置信区间，目的是根据样本构造一个区间，然后希望这个区间可以把真值包含进去，但是并不知道这个真值是多少？
条件概率
P(A|B)=P(AB)/P(B)，条件概率P(A|B) 指在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)是事件B发生的概率，其演化式可以得到：P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
全概率公式
假设事件B有两种发生方式，与事件A一起发生；不与事件A一起发生，那么可以用下面的公式得到事件B发生的概率：
又由条件概率可以推导出：
代入得到：
这就是全概率公式，由条件概率计算一个特定事件的概率。
贝叶斯公式
假如已知的条件概率是P(B|A)，那么贝叶斯公式则提供了一种计算逆条件概率的方法，也就是要求P(A|B)的概率。
首先条件概率：
刚刚也推导了
再将全概率公式P(B)代入，就得到：
发现一个有趣的案例
一日某超市发生盗窃案，嫌疑人甲发生盗窃的可能性为10%，嫌疑人乙发生盗窃的可能性为90%，目击者称盗窃者是甲，目击者证言可信度为80%，那么现在请估算出目击者证言的准确度。
嫌疑人甲盗窃的概率为P(A)=10%
嫌疑人乙盗窃的概率为P(B)=P(A)=90% 目击者证言可信度的概率为P(C) 在甲盗窃的前提下目击者称盗窃者是甲的概率为P(C|A)=80% 在甲盗窃的前提下目击者称盗窃者不是甲的概率为P(C|A)=20%
现在要求的是P(A|C)也就是目击者证言可信度准确的前提下甲盗窃的概率。
我们要求的是一个条件概率P(A|C)，已知的一个条件概率P(C|A)刚好是要求的条件概率的逆概率，这里就要用到贝叶斯公式了。
P(A|C)=P(A)P(C|A)/(P(A)P(C|A)+P(A)P(C|A))
=10%80% / 10%80%+ 90%*20%
=30.77%