等比数列和的快速求法
等比数列是一种常用的数列
朴素的求和方法是直接每项相加，不会影响取模，代码也很简单，但是时间复杂度为o（n），难以令人满意
于是我们想到了通项公式
我们知道，等比数列和前n项和公式为（a1-a1*q^n）/(1-q).
而通过二分计算快速幂可以在log（n）的时间计算出q^n的值，（代码如下）。剩下的貌似就是简单的除法了
int pow2( int a, int b )
{
int r = 1, base = a;
while( b != 0 )
{
if( b % 2 )
r = (r*base)%mod;
base =( base*base)%mod;
b /= 2;
}
return r;
}
不过事情没这么简单。
由于等比数列增加很快，很多题目中我们需要对它进行取模，而通项公式中有除法，不能直接取模，于是我们需要使用数论中讲到的模逆元素
在数论中，若 (a/x) %p= ( a *y%p) 我们称y为x模p的逆元素
逆元素存在条件为gcd(x,p)=1;
有结论为，若y为x模p的逆元素，则x*y%p=1.
即x*y与1关于p同余
因此我们可以使用exgcd求得x模p的逆元素exgcd(x,p,&y,&z);
得到一个y，若y为负，调整为正数
求得了x的逆元素，我们就可以通过
(a1*pow(q,n)-1)*y%mod 得到等比数列（a1，q）的前n项和了。
** 9.8日补充：
若取模的P非质数，那么gcd(x,p)不一定等于1，此时无法通过exgcd求逆元
取模时还有一个备选公式可以使用：
(A/B)%C=(A%(B*C))/B (A%B = 0);
不过要注意b*c可能会溢出，适用范围不大
应用：hdu1452 -----求 2004^x(mod 29)
参考资料 http://blog.csdn.net/luyuncheng/article/details/8017016
ac代码：
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 200000000
#define ull unsigned long long
const int MAXN = 100011;
int pow2( int a, int b )
{
int r = 1, base = a;
while( b != 0 )
{
if( b % 2 )
r = (r*base)%29;
base =( base*base)%29;
b /= 2;
}
return r;
}
int main()
{
int x;
while(scanf("%d",&x)&&x)
{
int a=pow2(2,2*x+1);
int b=pow2(3,x+1);
int c=pow2(22,x+1);
printf("%d\n",( a - 1 ) * (( b - 1 ) * 15) * ( c - 1 ) * 18 % 29);
}
return 0;
}