【形式语言与自动机】【《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记】第四章：正则表达式

前导

【形式语言与自动机】【《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记】第一章：绪论

【形式语言与自动机】【《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记】第二章：文法

【形式语言与自动机】【《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记】第三章：有穷状态自动机

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4.1|启示

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4.2|正则表达式的形式定义

正则表达式性质

• $L((r+\epsilon {)}^{\ast })=L(r^{\ast })$
• $L((r^{\ast }{s}^{\ast }{)}^{\ast })=L((r+s{)}^{\ast })$

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4.3|正则表达式与$FA$等价

正则表达式表示的语言是正则语言

• 施归纳于正则表达式中所含运算符的个数$n$，证明对于字母表$\Sigma$上的任意正则表达式$x$，存在$FAM$，使得$L(M)=L(x)$，并且$M$恰有一个终止状态，而且$M$在终止状态下不做任何移动

$n=0$时

$r=\epsilon$

$r=\varnothing$

$\forall a\in \Sigma$，$r=a$

$n=k+1$时

$r=r_1+r_2$

• 此时$r_1$，$r_2$种运算符的个数不会大于$k$，由归纳假设，存在满足定理要求的$\epsilon -NFA$，$M_1=(Q_1,\Sigma ,{\delta }_1,q_{01},\{f_1\})$，$M_2=(Q_2,\Sigma ,{\delta }_2,q_{02},\{f_2\})$，使得$L(M_1)=L(r_1)$，$L(M_2)=L(r_2)$
• 不妨设$Q_1\cup Q_2=\varnothing$，取$q_0$，$f\notin Q_1\cup Q_2$，令$M=(Q_1\cup Q_2\cup \{(\}{q}_0,f),\Sigma ,\delta ,q_0,\{f\})$，其中$\delta$的定义为
  • $\delta (q_0,\epsilon )=\{q_{01},q_{02}\}$
  • 对$\forall q\in Q_1-\{f_1\}$，$a\in \Sigma \cup \{\epsilon \}$，$\delta (q,a)={\delta }_1(q,a)$，对$\forall q\in Q_2-\{f_1\}$，$a\in \Sigma \cup \{\epsilon \}$，$\delta (q,a)={\delta }_2(q,a)$
  • $\delta (f_1,\epsilon )=\{f\}$
  • $\delta (f_2,\epsilon )=\{f\}$

• 往证$L(r_1+r_2)=L(M)$
  • 由归纳假设，$L(r_1)=L(M_1)$，$L(r_2)=L(M_2)$，根据正则表达式的定义$L(r_1+r_2)=L(r_1)\cup L(r_2)$，$L(r_1+r_2)=L(M_1)\cup L(M_2)$，因此，只需要证明$L(M)=L(M_1)\cup L(M_2)$
  • 先证$L(M_1)\cup L(M_2)\subseteq L(M)$
    • 设$x\in L(M_1)\cup L(M_2)$，从而有$x\in L(M_1)$，或者$x\in L(M_2)$
    • 当$x\in L(M_1)$时，有${\delta }_1(q_{01},x)=\{f_1\}$
    • 由$M$的定义可得$\begin{array}{rl}\delta (q_0,x)& =\delta (q_0,\epsilon x\epsilon )\\ & =\delta (\delta (q_0,\epsilon ),x\epsilon )\\ & =\delta (\{q_{01},q_{02}\},x\epsilon )\\ & =\delta (q_{01},x\epsilon )\cup \delta (q_{02},x\epsilon )\\ & =\delta (\delta (q_{01},x),\epsilon )\cup \delta (\delta (q_{02},x),\epsilon )\\ & =\delta ({\delta }_1(q_{01},x),\epsilon )\cup \delta ({\delta }_2(q_{02},x),\epsilon )\\ & =\{f\}\cup \delta ({\delta }_2(q_{02},x),\epsilon )\end{array}$
    • 即$x\in L(M)$
    • 同理可证，当$x\in L(M_2)$时，$x\in L(M)$
  • 再证$L(M)\subseteq L(M_1)\cup L(M_2)$
    • 设$x\in L(M)$，$f\in \delta (q_0,x)$
    • 按照$M$的定义，$\begin{array}{rl}\delta (q_0,x)& =\delta (q_0,\epsilon x\epsilon )\\ & =\delta (\delta (q_0,\epsilon ),x\epsilon )\\ & =\delta (\{q_{01},q_{02}\},x\epsilon )\\ & =\delta (q_{01},x\epsilon )\cup \delta (q_{02},x\epsilon )\\ & =\delta (\delta (q_{01},x),\epsilon )\cup \delta (\delta (q_{02},x),\epsilon )\\ & =\delta ({\delta }_1(q_{01},x),\epsilon )\cup \delta ({\delta }_2(q_{02},x),\epsilon )\end{array}$
    • $f\in \delta (q_0,x)$，并且此时$M$的最后一次移动必是根据$\delta (f_1,\epsilon )=\{f\}$或$\delta (f_2,\epsilon )=\{f\}$之一进行的移动
      • 如果是根据定义式$\delta (f_1,\epsilon )=\{f\}$进行的最后一次移动，此时必有${\delta }_1(q_{01},x)=\{f_1\}$，$x\in L(M_1)$
      • 如果是根据定义式$\delta (f_2,\epsilon )=\{f\}$进行的最后一次移动，此时必有${\delta }_2(q_{02},x)=\{f_2\}$，$x\in L(M_2)$
    • 无论是哪一种情况，都有$x\in L(M_1)\cup L(M_2)$

$r=r_1{r}_2$

• 此时$r_1$、$r_2$中运算符的个数不会大于$k$，由归纳假设，存在满足定理要求的$\epsilon -NFA$，$M_1=(Q_1,\Sigma ,{\delta }_1,q_{01},\{f_1\})$，$M_2=(Q_2,\Sigma ,{\delta }_2,q_{02},\{f_2\})$，使得$L(M_1)=L(r_1)$，$L(M_2)=L(r_2)$，而且$Q_1\cap Q_2=\varnothing$
• 取$M=(Q_1\cup Q_2,\Sigma ,\delta ,q_{01},\{f_2\})$，其中$\delta$的定义为
  • 对$\forall q\in Q_1-\{f_1\}$，$a\in \Sigma \cup \{\epsilon \}$，$\delta (q,a)={\delta }_1(q,a)$
  • 对$\forall q\in Q_2$，$a\in \Sigma \cup \{\epsilon \}$，$\delta (q,a)={\delta }_2(q,a)$
  • $\delta (f_1,\epsilon )=\{q_{02}\}$

• 往证$L(r_1{r}_2)=L(M)$
  • 由归纳假设，$L(r_1)=L(M_1)$，$L(r_2)=L(M_2)$，根据正则表达式的定义$L(r_1{r}_2)=L(r_1)L(r_2)$，$L(r_1{r}_2)=L(M_1)L(M_2)$，因此，只需要证明$L(M)=L(M_1)L(M_2)$
  • 先证$L(M_1)L(M_2)\subseteq L(M)$
    • 设$x\in L(M_1)L(M_2)$，从而有$x_1\in L(M_1)$并且$x_2\in L(M_2)$，使得$x=x_1{x}_2$
    • $\delta (q_{01},x_1)={\delta }_1(q_{01},x_1)=\{f_1\}$，$\delta (q_{02},x_2)={\delta }_2(q_{02},x_2)=\{f_2\}$
    • $\begin{array}{rl}\delta (q_{01},x)& =\delta (q_{01},x_1{x}_2)\\ & =\delta (\delta (q_{01},x_1),x_2)\\ & =\delta ({\delta }_1(q_{01},x_1),x_2)\\ & =\delta (f_1,x_2)\\ & =\delta (f_1,\epsilon x_2)\\ & =\delta (\delta (f_1,\epsilon ),x_2)\\ & =\delta (q_{02},x_2)\\ & ={\delta }_2(q_{02},x_2)\\ & =\{f_2\}\end{array}$
    • 即$x\in L(M)$
  • 再证$L(M)\subseteq L(M_1)L(M_2)$
    • 设$x\in L(M)$，$\delta (q_{01},x)=\{f_2\}$
    • 必存在$x$的前缀$x_1$和后缀$x_2$，使得$x=x_1{x}_2$，并且$x_1$将$M$从状态$q_{01}$引导到状态$f_1$，$x_2$将$M$从状态$q_{02}$引导到状态$f_2$，即$\begin{array}{rl}\delta (q_{01},x)& =\delta (q_{01},x_1{x}_2)\\ & =\delta (f_1,x_2)\\ & =\delta (f_1,\epsilon x_2)\\ & =\delta (q_{02},x_2)\\ & =\{f_2\}\end{array}$
    • 其中，$\delta (q_{01},x_1)=\{f_1\}$，说明${\delta }_1(q_{01},x_1)=\{f_1\}$，$\delta (q_{02},x_2)=\{f_2\}$，说明${\delta }_2(q_{02},x_2)=\{f_2\}$，这表明$x_1\in L(M_1)$，$x_2\in L(M_2)$
    • 从而$x=x_1{x}_2\in L(M_1)L(M_2)$

$r=r_1^{\ast }$

• 此时$r_1$中运算符的个数不会大于$k$，由归纳假设，存在满足定理要求的$\epsilon -NFA$，$M_1=(Q_1,\Sigma ,{\delta }_1,q_{01},\{f_1\})$，使得$L(M_1)=L(r_1)$
• 取$M=(Q_1\cup \{q_0,f\},\Sigma ,\delta ,q_0,\{f\})$，其中$q_0$，$f\notin Q_1$，$\delta$的定义为
  • 对$\forall q\in Q_1-\{f_1\}$，$a\in \Sigma$，$\delta (q,a)={\delta }_1(q,a)$
  • $\delta (f_1,\epsilon )=\{q_{01},f\}$
  • $\delta (q_0,\epsilon )=\{q_{01},f\}$

• 往证$L(r_1^{\ast })=L(M)$

  • 由归纳假设，$L(M_1)=L(r_1)$，根据正则表达式的定义$L(r)=(L(r_1){)}^{\ast }$，只需证明$L(M)=(L(M_1){)}^{\ast }$

  • 先证$L(M)\subseteq (L(M_1){)}^{\ast }$

    • 设$x\in L(M)$，如果$x=\epsilon$，由克林闭包的定义，显然$x\in (L(M_1){)}^{\ast }$

    • 如果$x\ne \epsilon$，由$M$的定义，必定存在$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$，$x=x_1{x}_2\cdots x_n(n\ge 1)$满足$\begin{array}{rl}\delta (q_0,x)& =\delta (q_0,x_1{x}_2\cdots x_n)\\ & =\delta (\delta (q_0,\epsilon ),x_1{x}_2\cdots x_n)\\ & =\delta (q_{01},x_1{x}_2\cdots x_n)\\ & =\delta ({\delta }_1(q_{01},x_1),x_2\cdots x_n)\\ & =\delta (f_1,x_2\cdots x_n)\\ & \cdots \\ & =\delta (f_1,x_n)\\ & =\delta (\delta (f_1,\epsilon ),x_n)\\ & =\delta (q_{01},x_n)\\ & =\delta ({\delta }_1(q_{01},x_n),\epsilon )\\ & =\delta (f_1,\epsilon )\\ & =\{f\}\end{array}$

    • 这表明$x=x_1{x}_2\cdots x_n\in (L(M_1){)}^{\ast }$

  • 再证$(L(M_1){)}^{\ast }\subseteq L(M)$

    • 类似地，不难证明$(L(M_1){)}^{\ast }\subseteq L(M)$

例题

问题

• 构造与正则表达式$(0+1{)}^{\ast }0+(00{)}^{\ast }$等价的$FA$

解答

正则语言可以用正则表达式表示

构造与$DFA$等价的正则表达式

• 设$DFAM=(\{q_1,q_2,\cdots ,q_n\},\Sigma ,\delta ,q_1,F)$
• 令$R_{ij}^k=\{x\mid \delta (q_i,x)=q_j,而且对于x的任意前缀y(y\ne x,y\ne \epsilon ),如果\delta (q_i,y)=q_l,则l\le k\}$
• 为了便于计算，将$R_{ij}^k$递归地定义为

$$R_{ij}^0=\{\begin{array}{ll}\{a\mid \delta (q_i,a)=q_j\},& i\ne j\\ \{a\mid \delta (q_i,a)=q_j\}\cup \{\epsilon \},& i=j\end{array}$$

$$R_{ij}^k=R_{ik}^{k-1}(R_{kk}^{k-1}{)}^{\ast }{R}_{kj}^{k-1}\cup R_{ij}^{k-1}$$

• 显然，$L(M)=\bigcup _{q_f\in F}{R}_{1f}^n$

图上作业方法

• 对$DFAM=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$的状态转移图，操作步骤如下

预处理

• 在状态转移图中增加状态$X$和$Y$，从状态$X$到$M$的开始状态$q_0$引一条标记为$\epsilon$的弧，对$\forall q\in F$，从状态$q$到状态$Y$分别引一条标记为$\epsilon$的弧
• 去掉所有的不可达状态

循环操作

• 重复如下操作，直到该图中不再包含除了$X$和$Y$的其他状态，并且这两个状态之间最多只有一条弧
  • 并弧：对图中任意两个状态$q$，$p$，如果图中包含有从$q$到$p$的标记为$r_1$，$r_2$，$\cdots$，$r_g$的并行弧，则用从$q$到$p$的、标记为$r_1+r_2+\cdots +r_g$的弧取代这$g$个并行弧，其中，$q$和$p$可以是同一个状态
  • 去状态$1$：对图中任意$3$个状态$q$，$p$，$t$，如果从$q$到$p$有一条标记为$r_1$的弧，从$p$到$t$有一条标记为$r_2$的弧，并且不存在从状态$p$到状态$p$的弧，则将状态$p$和与之关联的这两条弧去掉，增加一条从$q$到$t$的标记为$r_1{r}_2$的弧
  • 去状态$2$：对图中任意$3$个状态$q$，$p$，$t$，如果从$q$到$p$有一条标记为$r_1$的弧，从$p$到$t$有一条标记为$r_2$的弧，并且存在一条从状态$p$到状态$p$标记为$r_3$的弧，则将状态$p$和与之关联的这$3$条弧去掉，增加一条从$q$到$t$的标记为$r_1{r}_3^{\ast }{r}_2$的弧
  • 去状态$3$：如果图中只有$3$个状态，而且不存在从状态$X$到$Y$的路，则将除状态$X$和$Y$之外的第三个状态及其相关的弧全部删除
• 从状态$X$到$Y$的弧的标记为所求的正则表达式，如果该弧不存在，则所求的正则表达式为$\varnothing$

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4.4|正则语言等价模型的总结

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