深度学习——第4.2章 深度学习的数学基础

第4章 深度学习的数学基础

目录

4.6 矩阵

4.6 矩阵

下一章开始，我们就会用到矩阵。借助矩阵，可以用一个式子表示大量的联立方程式，特别方便。此外，使用矩阵或向量表示，也会更有助于我们直观理解方程式。

图4-13 标量、向量、矩阵、张量

4.6.1 什么是矩阵

把数横向或纵向排列，得到的是向量；把数像表格一样既横向排列又纵向排列，得到的就是矩阵。下式表示的是一个2×3矩阵(图4-14)：
$$A=\left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-70)}$$

图4-14 矩阵

通常，矩阵中横向的内容从上至下读作第1行、第2行等，纵向的内容从左至右读作第1列、第2列等。为了与Python中数组的索引一致，矩阵从0行0列开始计数，即横向从上至下分别是第0行、第1行等，纵向从左至右分别是第0列、第1列等。

式4-70所示的矩阵通常用“2行3列的矩阵”描述。当用一个变量表示矩阵时，一般用粗斜体的大写字母A表示。矩阵中元素的表示方法是：
$$[A{]}_{i,j}\text{\hspace{1em}(4-71)}$$

该式表示的是矩阵A中第$i$行第$j$列的元素，如：
$$[A{]}_{0,1}=2,[A{]}_{1,2}=6\text{\hspace{1em}(4-72)}$$

请注意，元素的序号是从0开始的。

在用变量表示矩阵中的元素时，由于元素是标量，所以用斜体的小写字母表示：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll}{a}_{0,0}& a_{0,1}& a_{0,2}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& a_{1,2}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-73)}$$

$a_{i,j}$的下标$i,j$分别是行和列的序号。下标之间的“,”有时会省略，比如写作$a_{01}$。

向量可以算作一种矩阵。比如，如下列向量可以看作一个3行1列的矩阵：
[ 1 2 3 ] (4-74) \left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3\tag{4-74} \end{array}\right] ​123​ ​(4-74)

而如下行向量可以看作一个1行2列的矩阵：
$$\left[\begin{array}{cc}4& 5\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-75)}$$

4.6.2 矩阵的加法和减法

在介绍矩阵和联立方程式的关系之前，我们先介绍几个矩阵相关的规则。首先看一下矩阵的加法运算。下面以2×3矩阵A和B为例：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}7& 8& 9\\ 10& 11& 12\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-76)}$$

矩阵的加法运算是把对应的元素相加（图4-15）：
$$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}7& 8& 9\\ 10& 11& 12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}8& 10& 12\\ 14& 16& 18\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-77)}$$

图4-15 矩阵的加法和减法

减法运算与加法运算一样，是把对应的元素相减：
$$\mathbf{A}-\mathbf{B}=\left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}7& 8& 9\\ 10& 11& 12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1-7& 2-8& 3-9\\ 4-10& 5-11& 6-12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-6& -6& -6\\ -6& -6& -6\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-78)}$$

无论是加法运算还是减法运算，两个矩阵的大小（行数和列数）必须相等。要想利用Python进行矩阵计算，必须和进行向量运算时一样，先使用import导入NumPy库。

# 代码清单 4-3-(1)
import numpy as np

然后，使用np.array定义矩阵。

# 代码清单 4-3-(2)
A=np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(A)

输出结果：

[[1 2 3]
 [4 5 6]]

在定义向量时，我们只是像np.array([1，2，3])这样用了一组[]；而在定义矩阵时，则是先把每行的元素用一组[]括住，然后用[]把整个内容括起来，使用的是双层结构。下面定义矩阵B。

# 代码清单 4-3-(3)
B = np.array([[7, 8, 9], [10, 11, 12]])
print(B)

输出结果：

[[ 7  8  9]
 [10 11 12]]

计算A+B、A-B：

# 代码清单 4-3-(4)
print(A + B)
print(A - B)

输出结果：

[[ 8 10 12]
 [14 16 18]]
[[-6 -6 -6]
 [-6 -6 -6]]

4.6.3 标量积

当矩阵乘以标量值时，结果是所有的元素都乘以标量值：
$$2A=2\times \left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}2\times 1& 2\times 2& 2\times 3\\ 2\times 4& 2\times 5& 2\times 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 8& 10& 12\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-79)}$$

图4-16 矩阵的标量积

在Python中，矩阵的标量积代码如下：

# 代码清单 4-3-(5)
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(2 * A)

输出结果：

[[ 2  4  6]
 [ 8 10 12]]

4.6.4 矩阵的乘积

矩阵之间的乘积（矩阵积）与加法或减法运算不同。

首先看一看1行三列的矩阵A和3行一列的矩阵B，这两个矩阵可以分别看作行向量和列向量，不过这里当作矩阵进行计算：

A = [ 1 2 3 ] , B = [ 4 5 6 ] (4-80) A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 5 \\ 6 \tag{4-80} \end{array}\right] A=[1​2​3​],B= ​456​ ​(4-80)

图4-17 $1\times M$矩阵和$M\times 1$矩阵的乘积

这两个矩阵的乘积可以计算为：
A B = [ 1 2 3 ] [ 4 5 6 ] = 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 = 32 (4-81) A B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 4 \\ 5 \\ 6 \tag{4-81} \end{array}\right]=1 \times 4+2 \times 5+3 \times 6=32 AB=[1​2​3​] ​456​ ​=1×4+2×5+3×6=32(4-81)

这就是把A和B当作向量时得到的内积。在Python中，A和B的内积如代码如下：

# 代码清单 4-3-(6)
A = np.array([1, 2, 3])
B = np.array([4, 5, 6])
print(A.dot(B))
#输出结果：32

计算A和B的内积用A.dot(B)，A.dot(B)不仅可以计算向量内积，还可以计算矩阵积。但是这样的话，会产生一种对行向量A和B计算矩阵积的错觉。

其实，在Python中计算矩阵积时，矩阵的行和列会被自动调整为可以进行计算的形式。此时，B会被看作列向量，这样就可以继续计算内积了。

注意：如果使用通常的乘法运算符号“*”，则乘法运算会在对应的元素之间进行，如下代码所示：

# 代码清单 4-3-(7)
A = np.array([1, 2, 3])
B = np.array([4, 5, 6])
print(A * B)
#输出结果：[ 4 10 18]

这跟“+”或“-”相同。“/”也一样，是在对应的元素之间进行除法运算。演示代码如下：

# 代码清单 4-3-(8)
A = np.array([1, 2, 3])
B = np.array([4, 5, 6])
print(A / B)
#输出结果：[0.25 0.4  0.5 ]

接下来，思考一下A为$2\times 3$矩阵、B为$3\times 2$矩阵时的情况：
A = [ 1 2 3 − 1 − 2 − 3 ] , B = [ 4 − 4 5 − 5 6 − 6 ] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & -3 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc} 4 & -4 \\ 5 & -5 \\ 6 & -6 \end{array}\right] A=[1−1​2−2​3−3​],B= ​456​−4−5−6​ ​

此时，我们把A看作2行的行向量，把B看作2列的列向量，并以各自的组合计算内积，然后在对应的位置写上答案。

图4-18 $L\times M$矩阵和$M\times N$矩阵的乘积

具体的计算步骤如下：
A B = [ 1 2 3 − 1 − 2 − 3 ] [ 4 − 4 5 − 5 6 − 6 ] = [ 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 1 × ( − 4 ) + 2 × ( − 5 ) + 3 × ( − 6 ) ( − 1 ) × 4 + ( − 2 ) × 5 + ( − 3 ) × 6 ( − 1 ) × ( − 4 ) + ( − 2 ) × ( − 5 ) + ( − 3 ) × ( − 6 ) ] = [ 32 − 32 − 32 32 ] \begin{aligned} A B &=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 4 & -4 \\ 5 & -5 \\ 6 & -6 \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc} 1 \times 4+2 \times 5+3 \times 6 & 1 \times(-4)+2 \times(-5)+3 \times(-6) \\ (-1) \times 4+(-2) \times 5+(-3) \times 6 & \quad(-1) \times(-4)+(-2) \times(-5)+(-3) \times(-6) \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc} 32 & -32 \\ -32 & 32 \end{array}\right] \end{aligned} AB​=[1−1​2−2​3−3​] ​456​−4−5−6​ ​=[1×4+2×5+3×6(−1)×4+(−2)×5+(−3)×6​1×(−4)+2×(−5)+3×(−6)(−1)×(−4)+(−2)×(−5)+(−3)×(−6)​]=[32−32​−3232​]​
$$(4-82)$$

与前面一样，同样使用A.dot(B)计算。

# 代码清单 4-3-(9)
A = np.array([[1, 2, 3], [-1, -2, -3]])
B = np.array([[4, -4], [5, -5], [6, -6]])
print(A.dot(B))

输出结果：

[[ 32 -32]
 [-32  32]]

在一般情况下，当A为$L\times M$矩阵、B为$M\times N$矩阵时，AB的大小为$L\times N$。当A的列数与B的行数不等时，不能计算矩阵积。

矩阵积的元素$i、j$计算为：
$$[\mathbf{A}\mathbf{B}{]}_{i,j}=\sum _{m=0}^{M-1}{a}_{i,m}{b}_{m,j}\text{\hspace{1em}(4-83)}$$

行数和列数相等的矩阵叫作方阵。当A和B均为方阵时，虽然我们可以计算出AB和BA的值，但是在一般情况下AB=BA是不成立的，所以在矩阵的乘法运算中，顺序很重要。从这一点来说，矩阵积与即使改变顺序答案也不变的标量积不同。

4.6.5 单位矩阵

对角元素均为1、其他元素均为0的特殊方阵叫作单位矩阵，用I表示，如$3\times 3$的单位矩阵为：
I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] (4-84) \boldsymbol{I}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \tag{4-84} \end{array}\right] I= ​100​010​001​ ​(4-84)

图4-19 单位矩阵

在Python中，np.identity(n)用于生成$n\times n$的单位矩阵)，示例如下：

# 代码清单 4-3-(10)
print(np.identity(3))

输出结果：

[[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

print(np.eye(3))

输出结果：

[[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

各个元素之后有”$\cdot$”，这表示矩阵的元素可以是用于表示小数的float类型。

单位矩阵与标量“1”类似。任何数乘以1，结果都还是该数。单位矩阵也一样，任何矩阵(大小相同的方阵)与单位矩阵相乘，结果都不发生变化。比如，3×3矩阵与单位矩阵相乘：

[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = [ 1 + 0 + 0 0 + 2 + 0 0 + 0 + 3 4 + 0 + 0 0 + 5 + 0 0 + 0 + 6 7 + 0 + 0 0 + 8 + 0 0 + 0 + 9 ] = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1+0+0 & 0+2+0 & 0+0+3 \\ 4+0+0 & 0+5+0 & 0+0+6 \\ 7+0+0 & 0+8+0 & 0+0+9 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right] ​147​258​369​ ​ ​100​010​001​ ​= ​1+0+04+0+07+0+0​0+2+00+5+00+8+0​0+0+30+0+60+0+9​ ​= ​147​258​369​ ​
$$\text{\hspace{1em}(4-85)}$$
计算代码如下：

# 代码清单 4-3-(11)
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
I = np.identity(3)
print(A.dot(I))

输出结果：

[[1. 2. 3.]
 [4. 5. 6.]
 [7. 8. 9.]]

这里介绍单位矩阵，其实是为了给接下来要介绍的逆矩阵做铺垫。

4.6.6 逆矩阵

如何对矩阵进行除法运算呢？对于标量，除以3的运算与乘以3的倒数$\frac{1}{3}$是一样的。一个数的倒数是与其相乘可以得到1的数。$a$的倒数为$\frac{1}{a}$，也可以表示为$a^{-1}$：
$$a\times a^{-1}=1\text{\hspace{1em}(4-86)}$$

与之类似，矩阵也有与其对应的逆矩阵。

图4-20 逆矩阵

但是，只有行数和列数相等的方阵才具有逆矩阵。一个方阵A与其逆矩阵${\mathbf{A}}^{-1}$相乘的结果为单位矩阵I：

$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I}\text{\hspace{1em}(4-87)}$$

在一般情况下，矩阵积的结果与顺序有关，但一个矩阵与其逆矩阵的积一定是单位矩阵，所以与顺序无关。

比如，当A为2×2方阵时，令$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，则A的逆矩阵为：

$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-88)}$$

如果$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$，那么A的逆矩阵为：

$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{1\cdot 4-2\cdot 3}\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right]=-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1.5& -0.5\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-89)}$$

试着计算${\mathbf{AA}}^{-1}$，可得到单位矩阵：

$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{ll}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\cdot -\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right]=-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-90)}$$

在Python中，np.linalg.inv(A)用于求A的逆矩阵：

# 代码清单 4-3-(12)
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
invA = np.linalg.inv(A)
print(invA) 

输出结果：

[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]

如上所示，得到的结果与上面的式4-89的结果一样。

这里必须注意，也有一些方阵没有对应的逆矩阵。如果是2×2方阵，那么使得$ad-bc=0$的矩阵就不存在逆矩阵。因为这样的话，式4-88中分数的分母就是0。

比如矩阵$\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 1\end{array}\right]$，由于$ad-bc=0$，所以它没有逆矩阵。

对于3×3和4×4等较大的矩阵，虽然也可以使用公式求逆矩阵，但是计算过程很复杂。因此，在机器学习中一般会借用库的力量，使用np.linalg.inv(A)求逆矩阵。

4.6.7 转置

将列向量转换为行向量、将行向量转换为列向量的转置运算，已在4.1节介绍。这个转置运算也可以扩展到矩阵中。

以下式为例说明一下：

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-91)}$$

把矩阵A的行和列互换，即可得到A的转置${\mathbf{A}}^T$，结果为(图4-23)：

A T = [ 1 4 2 5 3 6 ] (4-92) \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6\tag{4-92} \end{array}\right] AT= ​123​456​ ​(4-92)

Python实现代码如下：

# 代码清单 4-3-(13)
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(A)
print(A.T)

扩展到一般情况，转置之后，矩阵下标的顺序会被替换：

$$[\mathbf{A}{]}_{ij}={\left[{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\right]}_{ji}\text{\hspace{1em}(4-93)}$$

在对AB整体进行转置时，如下关系式成立：

$$(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\text{\hspace{1em}(4-94)}$$

转置之后矩阵积的顺序与转置前相反。以2×2矩阵为例，如下所示，可以证明式4-94成立：

$$\begin{array}{l}(\mathbf{AB}{)}^{\mathrm{T}}={\left[\left[\begin{array}{ll}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ll}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}& a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}\\ a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}\end{array}\right]\\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ll}{b}_{11}& b_{21}\\ b_{12}& b_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}& a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}\\ a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}\end{array}\right]\end{array}$$

使用式4-94可以简单推导出：

$$(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\text{\hspace{1em}(4-95)}$$

这是把看作一个整体，先对与C进行转置，最后对AB进行转置。哪怕是三个矩阵的矩阵积，转置之后，矩阵下标的顺序也会被替换。

4.6.8 矩阵和联立方程式

借助矩阵，我们可以用一个式子表示大量的联立方程式，特别方便。到此为止的内容都是为使用矩阵做的铺垫，接下来，我们尝试用一个矩阵表示两个联立方程式，并使用矩阵运算求解答案。具体来说，这里以下面的联立方程式为例：

$$y=2x\text{\hspace{1em}(4-96)}$$
$$y=-x+3\text{\hspace{1em}(4-97)}$$

图4-21 用矩阵表示法求解联立方程式

对于上面的联立方程式，把式4-96代入式4-97之后，可以简单地求出$x=1$，$y=2$。这里特意通过矩阵的方式求解。首先，将式4-96和式4-97变形，得到：

$$\begin{array}{l}2x-y=0\\ x+y=3\end{array}\text{\hspace{1em}(4-98)}$$

上式可以表示为矩阵：
$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0\\ 3\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-99)}$$

为什么可以这样表示呢？计算式4-99的左边之后，可知下式成立，即两个列向量相等：
$$\left[\begin{array}{l}2x-y\\ x+y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0\\ 3\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-100)}$$

式子左边和右边的向量相等，即矩阵中的对应元素相等，所以式4-100与式4-98是一个意思。

接下来，要想求出$x$和$y$的值，需要把式4-99变形为：

$$\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}?\\ ?\end{array}\right]$$

因此，首先让式4-99的两边乘以$
\left[\begin{array}{cc}
2 & -1 \
1 & 1
\end{array}\right]
$的逆矩阵：

$${\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{l}0\\ 3\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-101)}$$

根据逆矩阵的性质可知，左边是一个单位矩阵：

$$\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{l}0\\ 3\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-102)}$$

已知单位矩阵乘以$[xy{]}^{\mathrm{T}}$，结果不变，所以我们可以得到：

$$\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{l}0\\ 3\end{array}\right]$$

通过公式4-88计算出如下所示的${\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{-1}$的结果：

$${\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{2\times 1-(-1)\times 1}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 2\end{array}\right]=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 2\end{array}\right]$$

然后得到：

$$\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0\\ 3\end{array}\right]=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{l}1\times 0+1\times 3\\ (-1)\times 0+2\times 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-103)}$$

观察对应的元素可知，我们得到了正确的值，即$x=1$，$y=2$。

对方程式求解时也需要变形，求出“$x=?$”。从这一点来说，这种方法与求解方程式的过程是类似的。对于方程式$ax=b$，我们会在等式的两边都乘以$a$的倒数，将其变形为$x=b/a$的形式。而矩阵是让等式两边都从左边乘以逆矩阵，将$\boldsymbol{A}x= \boldsymbol B $变形$x=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$的形式。

对于只有两个变量的两个联立方程式，即使用普通方法求解也不算麻烦，但是当变量和式子增多时，比如有$D$个式子，这种使用矩阵的方法就会起到不凡的作用。

4.6.9 矩阵和映射

我们可以通过图形解释向量的加法或减法，同样地，也可以通过图形解释矩阵运算。矩阵可以看作“把向量转换为另一个向量的规则”。此外，如果将向量解释为坐标，即空间内的某个点，那么矩阵就可以解释为“令某点向别的点移动的规则”。

像这样关于从组（向量或点）到组（向量或点）的对应关系的规则叫作映射，矩阵的映射是一种线性映射。

比如，看一下上一节4-99矩阵方程式的左边，即式：

$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]$$

将上式展开之后，可得到下式：

$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2x-y\\ x+y\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-104)}$$

因此矩阵$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$可以解释为一个令点$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$向点$\left[\begin{array}{c}2x-y\\ x+y\end{array}\right]$向点移动的映射。

比如，把向量$[1,0{]}^T$代入式4-104之后，可得到$[2,1{]}^T$，所以可以说点$[1,0{]}^T$通过这个矩阵移动到点$[2,1{]}^T$。同样，也可以说点$[0,1{]}^T$通过这个矩阵移动到$[-1,-1{]}^T$，点$[1,2{]}^T$通过这个矩阵移动到$[0,3{]}^T$。像这样从各种点移动的情形如图4-22中的左图所示，形状为由内向外的旋涡状。

图4-22中的右图为$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$的逆矩阵的映射，它是由外向内的旋涡状，与原矩阵的映射的移动方向刚好相反。

图4-22 矩阵形式的向量的映射

这里，式4-99可以解释为这样一个问题：应用矩阵$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$的映射规则被移动到$\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$的是哪个点？

$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0\\ 3\end{array}\right]$$

答案为：

$$\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{l}0\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right]$$

我们可以这样理解：通过逆矩阵把移动后的点$\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$恢复到动前的位置可知，移动前的位置是点$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$。