正交基概念
求正交向量组中的系数
考虑 n n n 个任意两个向量之间相互正交的 n n n 维向量 a ⃗ \vec a a，则其构成一个 n n n 维的欧几里得空间 R n R^n Rn，为其中的每一个向量赋予一个常数系数 c c c，则空间中的任意向量 v v v 可以表示为这组基的线性组合
v ⃗ = c 1 a ⃗ 1 + c 2 a ⃗ 2 + ⋯ + c n a ⃗ n \vec{v} = c_1 \vec a_1 + c_2\vec a_2 + \dots +c_n\vec a_n v=c1a1+c2a2+⋯+cnan
由于 a 1 , . . . a n a_1,...a_n a1,...an 两两正交，则 ∀ i , j ∈ { 1 , . . . n } \forall i,j \in \{1, ... n\} ∀i,j∈{1,...n}，有
{ a i ⋅ a j T = 1 ( i = j ) a i ⋅ a j T = 0 ( i ≠ j ) \begin{cases} a_i \cdot a_j^T = 1\ (i=j)\\ a_i \cdot a_j^T = 0\ (i\neq j)\\ \end{cases} {ai⋅ajT=1 (i=j)ai⋅ajT=0 (i=j)
如果此时我们想求任意一个系数 c i c_i ci, 则可以直接把向量 v v v 与目标的分量 c i a i c_ia_i ciai 求内积
v ⃗ T c i a i = ( c 1 a 1 , c 2 a 2 , . . . , c n a n ) T ⋅ c i a i = c i a i T a x = c i \vec v^T c_ia_i = (c_1a_1, c_2a_2, ... ,c_na_n)^T \cdot c_i a_i= c_i a_i^Ta_x = c_i vTciai=(c1a1,c2a2,...,cnan)T⋅ciai=ciaiTax=ci
三角函数的正交性
周期为 T T T 的函数的正交，可以表示为
1 T ∫ 0 T f ( x ) g ( x ) d x = 0 \frac 1T\int^T_0f(x) g(x) dx = 0 T1∫0Tf(x)g(x)dx=0
对于三角函数
利用积化和差公式，可以证明下列积分等式成立
∫ − π π cos n x d x = 0 \int ^{\pi}_{-\pi} \cos nxdx = 0 ∫−ππcosnxdx=0
∫ − π π sin n x d x = 0 \int ^{\pi}_{-\pi} \sin nxdx = 0 ∫−ππsinnxdx=0
∫ − π π sin k x cos n x d x = 0 ( a ) \int ^{\pi}_{-\pi} \sin kx \cos nxdx = 0 (a) ∫−ππsinkxcosnxdx=0(a)
∫ − π π cos k x cos n x d x = 0 ( n ≠ k ) ( b ) \int ^{\pi}_{-\pi} \cos kx \cos nxdx = 0 (n \neq k)(b) ∫−ππcoskxcosnxdx=0(n=k)(b)
∫ − π π sin k x sin n x d x = 0 ( n ≠ k ) ( c ) \int ^{\pi}_{-\pi} \sin kx \sin nxdx = 0 (n \neq k)(c) ∫−ππsinkxsinnxdx=0(n=k)(c)
特别的，对于等式(a),(b),©，当 n = k n = k n=k 时，有
∫ − π π sin k x cos k x d x = 1 2 ∫ − π π sin 2 k x d x = 1 \int ^{\pi}_{-\pi} \sin kx \cos kxdx = \frac 12 \int ^{\pi}_{-\pi}\sin 2kx dx = 1 ∫−ππsinkxcoskxdx=21∫−ππsin2kxdx=1
∫ − π π cos k x cos k x d x = 1 2 ∫ − π π cos 2 k x d x = 1 \int ^{\pi}_{-\pi} \cos kx \cos kxdx = \frac 12 \int ^{\pi}_{-\pi}\cos 2kx dx = 1 ∫−ππcoskxcoskxdx=21∫−ππcos2kxdx=1
$$
\int ^{\pi}{-\pi} \sin kx \sin kxdx = \frac 12 \int ^{\pi}{-\pi}\sin 2kx dx = 1
$$
因此我们可以将 { 1 , sin ω x , cos ω x , sin 2 ω x , cos 2 ω x , … sin n ω x , cos n ω x } \{1, \sin \omega x, \cos \omega x, \sin 2\omega x, \cos 2\omega x,\dots \sin n\omega x, \cos n\omega x\} {1,sinωx,cosωx,sin2ωx,cos2ωx,…sinnωx,cosnωx} 视作一组正交基