高中奥数 2021-09-27

2021-09-27-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P053 习题01）

如图,已知和相交于和,是线段上一点,是过点的的弦,是过点的的弦.求证:、、、四点共圆.

图1

证明

因为,为的两条相交弦,所以.

同理,,所以.

由相交弦定理的逆定理得到、、、四点共圆.

2021-09-27-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P053 习题02）

如图,为的内接四边形,延长和相交于,延长和相交于,和分别切于、.求证:.

图2

证明

作的外接圆交于,连结.

图3

又因为,故、、、四点共圆.

由切割线定理,有,,所以.

2021-09-27-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P053 习题03）

设、、、是一条直线上依次排列的四个不同的点,分别以、为直径的圆相交于和,直线交于.若为上异于的一点,直线与以为直径的圆相交于和,直线与以为直径的圆相交于和.试证:、和三线共点.

证明

设交直线于点,而交直线于点(如图,注意:这里只画出了点在线段上的情形,其他情况可类似证明).

图4

需证:与重合由于为两圆的根轴,故,而为直径,所以.

进而,、、、四点共圆.

同理、、、四点共圆.

这样,利用圆幂定理,可知,.

所以,.

与都在直线上且在直线同侧,从而,与重合命题获证.