C++搜索二叉树

搜索二叉树(SearchBinaryTree)

搜索二叉树的概念

概念:搜索二叉树又称为二叉排序树,它或者是一颗空树,或者是具有以下性质的二叉树:

  • 若其左子树不是空,则左子树上所有节点的值都小于根结点的值
  • 若其右子树不是空,则右子树上所有结点的值都大于根结点的值
  • 其左右子树必须都是二叉搜索树

BST:(L \neq \varnothing \Rightarrow L.\forall \text{node} < \text{root}) \land (R \neq \varnothing \Rightarrow R.\forall \text{node} > \text{root}) 

C++搜索二叉树_第1张图片 

至于叫它 "搜索二叉树",还是 "二叉搜索树",这个似乎也没有特别的规定,应该都是可以的。

结论:任意一个子树都需要满足,左子树的值 < 根 < 右子树的值,才能构成二叉搜索树。 

 搜索二叉树的优势

 既然叫搜索二叉树,它肯定是用来搜索的,当满足搜索二叉树时你将可以快速地查找任意的值。

举个例子: 查找 7 

C++搜索二叉树_第2张图片 

放到以前我们如果不用二分查找,可能会选择用暴力的方式去从头到尾遍历一遍。

但现在学了搜索二叉树,我们就可以轻松找到这个 7 了,不信你看:

STEP1:7 比 8 (根节点) 小,根据搜索二叉树的性质,它必然不会出现在右子树 (右边大) !

 所以,直接  锁定 左子树开始找:

C++搜索二叉树_第3张图片 

STEP2: 7 比 3 大,根据性质它肯定不会出现在左子树 (左边小) ! 

这次,直接 锁定 右子树继续找:  

C++搜索二叉树_第4张图片 

 STEP3: 我们继续对比,7 比 6 大,所以在右边,就这么轻轻松松的找到了:

 搜索二叉树查找一个值的最坏情况,也只是查找高度次。 

二叉搜索树的时间复杂度:O(N) 

上面的例子举得太丝滑了,会让人误以为搜索二叉树的时间复杂度是 O(logN) …… 

但实际上是 O(N)  !!!

因为这棵树是有可能会 蜕化 (Degenerate) 的,极端情况下会蜕化成一个 "单边树" :

 C++搜索二叉树_第5张图片

最差情况:二叉搜索树蜕化为单边树(或类似单边),其平均比较次数为: 

 但是在好的情况下,其搜索效率也是非常可观的:

C++搜索二叉树_第6张图片

最优情况:二叉搜索树为完全二叉树(或接近完全二叉树),其平均比较次数为: 

对于时间复杂度的分析我们要做一个悲观主义者,根据最差情况去定时间复杂度。

总结:搜索二叉树的时间复杂度为 O(n) 

搜索二叉树的改良方案 

如果搜索二叉树蜕化成了单边树,其性能也就失去了,能否进行改进让它保持性能?

如何做到不论按照上面次序插入关键码,二叉搜索树的性能均能达到最优?

搜索二叉树由于控制不了极端情况,与 O(logN) 失之交臂,但平衡二叉搜索树做到了。 

                                        "平衡二叉树的搜索效率极高"

严格意义上来说满二叉树才是 O(logN),完全二叉树是接近 O(logN) 。而平衡搜索二叉树维持左右两边均匀程度,让它接近完全二叉树,从而让效率趋近 O(logN)。

 搜索二叉树的实现

搜索二叉树的定义 

搜索二叉树,SearchBinaryTree 名称实在是又臭又长!我们不如取名为 SBTree,但是 SBTree 听起来好像有点不文明,我们还是叫 BSTree 吧。这里我们用模板,模板参数我们给了一个 K,表示 key 的意思(模板参数并非一定要用 T)。 

template 
struct BSTreeNode {
	BSTreeNode* _left;
	BSTreeNode* _right;
	K _key;
 
	BSTreeNode(const K& key)
		: _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _key(key) {}
};

下面我们来定义整个树,BSTreeNode 也有些长了,我们不如将其 typedef 成 Node 。

这里我们构造函数都没必要写,它自己生成的就够用了:

搜索二叉树的插入 

我们先来实现最简单的插入操作:

  • 如果树为空,则直接新增结点,赋值给 root 指针。
  • 如果树不为空,按二叉搜索树性质查找插入位置,插入新节点。
bool Insert(const K& key);

Insert 的实现我们可以用递归,也可以用非递归,这一块递归比非递归更难理解。

秉着先难后易的态度,我们先讲比较难理解的非递归版本!

分析

Step1:首先检查是否有根结点 _root,如果没有我们就 new 一个结点出来作为根结点。
此时插入成功,返回 true。

Step2:插入就需要找到插入位置,我们定义一个 cur 变量,从根节点开始,
根据搜索二叉树 "SB" 性质,将 cur 结点的值与插入的值 x 进行大小比较。

  •     如果插入的值大于当前结点值,则将 cur 结点向右移动 cur=cur->_right ;
  •     如果插入的值小于当前节点值,就将 cur 结点向左移动 cur=cur->_left。

 值得注意的是,我们还需要额外记录一下 cur 的父结点,因为你不知道什么时候会碰 null 结束。
并且当我们找到插入位置后,仅仅 new 上一个新结点给 cur 是完成不了插入操作的!
因为直接这么做 cur 也只是一个局部变量而已,你需要 cur 跟上一层(cur 的父亲)相链接才行!
为了能找到上一层,所以我们还需要额外定义一个 prev 变量来记录 cur 的父结点,
在我们更换 cur 结点时记录父结点的位置 prev=cur 即可。

当然了,还有一种插入失败的情况,就是判断大小时出现等于的情况,返回 false 即可。
(重复的值是不允许插入的,默认情况是不允许冗余的!但是也有针对这个的变形,后续再说)

Step3:插入!new 一个新结点给 cur,此时 cur 只是一个局部变量,必须要和父亲链接,
此时应该链接父亲的左边,还是链接父亲的右边?我们不知道,所以我们需要再做一个比较!

  • 如果父节点的值大于插入的值,则将 cur 链接到父亲左边 prev->_left=cur
  • 反之将 cur 链接到父亲右边  prev->_right=cur

最后,插入成功返回 true,我们的插入操作就大功告成了。 

代码演示:Insert 接口的实现

/* 插入 */
bool Insert(const K& x) {
    /* 检查是否由根节点 */
    if (_root == nullptr) {    // 如果根节点为空指针
        _root = new Node(x);   // 创建一个新结点作为根结点
        return true;           // 插入成功,返回真
    }
 
    Node* prev = nullptr;      // 用于记录cur的父亲
    Node* cur = _root;         // 从根节点开始
 
    /* 找到插入位置 */
    while (cur != nullptr) {
        if (x > cur->_key) {          // 如果插入的值大于当前结点值,则向右移动
            prev = cur;               // 保存父节点
            cur = cur->_right;        // 令cur右滑
        }
        else if (x < cur->_key) {     // 如果插入的值小于当前结点值,则向左移动
            prev = cur;      
            cur = cur->_left;         // 令cur左滑
        }
        else {                        // 相等的情况,禁插
            return false;             // 插入失败,返回假
        }
    }
 
    /* 插入位置已找到,准备进行链接操作 */
    cur = new Node(x);      // 创建一个新结点,赋给cur,此时cur为局部,需与父结点链接
    if (prev->_key > x) {   // 如果父结点的值大于插入的值,则将cur链接到左边
        prev->_left = cur;
    } 
    else {                  // 如果父节点的值小于插入的值,则将cur链接到右边
        prev->_right = cur;
    }
 
    return true;   // 插入成功,返回真
}

再写一个中序遍历来测试一下插入的效果:

void InOrder(Node* root) {
    if (root == nullptr) {
        return;
    }
 
    InOrder(root->_left);            // 左
    cout << root->_key << " ";       // 值
    InOrder(root->_right);           // 右
}

 模拟出一个测试用例:

void TestBSTree() {
	BSTree t;
	int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	for (auto e : a) {
		t.Insert(e);
	}
	t.InOrder();  ❌ 没法传根
}

此时会出现一个问题,因为根是私有的,我们没办法把根传过去。

此时我们可以选择在类内部写一个成员函数 GetRoot 去取根,但是这里我们可以选择这么做:

	void InOrder() {
		_InOrder(_root);
	}
 
private:
    // 改为内部函数
	void _InOrder(Node* root) {
		if (root == nullptr) {
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}
 
	Node* _root = nullptr;
};

干脆将刚才我们实现的中序设为 private 私有,然后再写一个 InOrder 放在公有的区域。

这就是在类内访问 _root 了,没有什么问题。

如此一来我们在类外就可以直接调用 InOrder,并且也不需要传递参数了。

int main(void)
{
	TestBSTree();
 
	return 0;
}

 运行结果:

C++搜索二叉树_第7张图片 

搜索二叉树的查找 

find 实现很容易,用和刚才一样的思路,从根结点开始查找。从根开始,如果要查找的值大于 cur 目前的值,则让 cur 往右走,反之往左走。当查找得值与 cur 的值相等时则说明找到了,返回 true。当 cur 触及到空(while 循环结束)则说明找不到,返回 false。

 代码实现:搜索二叉树的查找

 

/* 查找 */
bool Find(const K& target) {
    Node* cur = _root;                    // 从根结点开始查找
 
    while (cur != nullptr) {      
        if (target > cur->_key) {         // 如果目标值比当前结点值大,cur↘
            cur = cur->_right;       
        }
        else if (target < cur->_key) {    // 如果目标值比当前结点值小,cur↙
            cur = cur->_left;
        }
        else {                            // 如果目标值等于结点值,说明找到了
            /* 找到了,返回真 */
            return true;
        }
    }
    /* 没找到,返回假 */
    return false;
}

搜索二叉树删除

搜索二叉树真正困难的是删除,搜索二叉树删除的实现是有很有难度的。 

C++搜索二叉树_第8张图片 

没有孩子或者只有一个孩子,可以直接删除,孩子托管给父亲。

两个还是没办法给父亲,父亲养不了这么多孩子,但是可以找个人替代父亲养孩子。

当然,也不能随便找,找的人必须仍然维持搜索二叉树的性质,这是原则。"你不能说搞得我都不是搜索二叉树了,那还玩个锤子"必须比左边的大,比右边的小。所以在家族中找是最合适的。找左子树的最大值结点,或者右子树的最小值结点。

首先要查找元素是否在二叉搜索树中,如果不存在,则返回。

如果存在,那么删除的结点可能分为下面四种情况:

a. 要删除的结点无孩子结点
b. 要删除的结点只有左孩子结点
c. 要删除的结点只有右孩子结点
d. 要删除的结点有左孩子结点也有右孩子结点

看起来有待删除节点有 4 种情况,但实际上 a 和 b,或 a 和 c 可以合并。

 因此,真正的删除过程如下:

  •     情况B:删除该结点且使被删除结点的父结点指向被删除节点的左孩子结点 —— 直接删除。
  •     情况C:删除该节点且使被删除结点的父节点指向被删除节点的右孩子结点 —— 直接删除。
  •     情况D:在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(值最小),用它的值填补到被删除结点中,再来处理该结点的删除问题 —— 替换法删除。

 C++搜索二叉树_第9张图片

① 该结点无左孩子 

如果要删除下面这颗二叉树的 10 节点和 4 节点: 

C++搜索二叉树_第10张图片 

我们还是定义一个 cur 变量,当 cur 找到 10 结点后,如果左侧为空情况如下:

  1.     若该结点为 root,直接让 root 等于它的右孩子结点。
  2.     对于删除 10 结点:若 cur==father->right,则令 parent->right = cur->right (如图所示)
  3.     对于删除 4 结点:若 cur==father->left,则令 parent->left=cur->right (如图所示)
  4.     最后删除 cur 结点

 代码演示:

if (cur->_left == nullptr) {
    /* 判断要删除的结点是否为根结点 */
    if (cur == _root) {
        _root = cur->_right;
    }
    else {
        if (cur == father->_right) {
            /* 如果 cur 比 father 大 */
            father->_right = cur->_right;
        }
        else {
            father->_left = cur->_right;
        }
    }
    delete cur;
    cur = nullptr;
}

 ② 该结点无右孩子

 如果要删除 14 结点,删除逻辑和删除左孩子是类似的: 

C++搜索二叉树_第11张图片 

代码演示: 

else if (cur->_right == nullptr) {
    /* 判断是否为根结点 */
    if (cur == _root) {
        _root = cur->_left;
    }
    else {
        if (cur == father->_right) {
            /* cur 比父结点大 */
            father->_right = cur->_left;
        }
        else {
            father->_left = cur->_left;
        }
    }
    delete cur;
    cur = nullptr;
}

③ 该结点有左右两个孩子

如果删除的结点有左右两个孩子,我们就在它的右子树中寻找中序的第一个结点。

即 与右子树的最小值进行替换,当然也可以选择左子树的最大值进行替换。

例子:比如下面这颗子树,我们要删除 3 结点: 

C++搜索二叉树_第12张图片 

如果该结点有两个孩子,则采用如下替换法:

该结点和右子树的最小值或左子树的最大值进行值的替换,然后删除替换后的结点。

这里我们采用与右子树的最小值进行替换。

 代码演示:非递归版本的 Erase

bool Erase(const K& key) {
    Node* father = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur != nullptr) {
        if (cur->_key < key) {
            father = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if (cur->_key > key)
        {
            father = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else {
            /* 找到了! 情况一:该节点没有左孩子   情况二:该节点没有右孩子 */
            if (cur->_left == nullptr) {
                /* 判断是否为根结点 */
                if (cur == _root) {
                    _root = cur->_right;
                }
                else {
                    if (cur == father->_right) {
                        //cur 比 father大
                        father->_right = cur->_right;
                    }
                    else {
                        father->_left = cur->_right;
                    }
                }
                delete cur;
                cur = nullptr;
            }
            else if (cur->_right == nullptr) {
                /* 判断是否为根结点 */
                if (cur == _root) {
                    _root = cur->_left;
                }
                else {
                    if (cur == father->_right) {
                        /* 如果 cur 比父结点大 */
                        father->_right = cur->_left;
                    }
                    else {
                        father->_left = cur->_left;
                    }
                }
                delete cur;
                cur = nullptr;
            }
            else {
                /* 有两个节点,替换 */
                Node* MinParNode = cur;
                Node* MinNode = cur->_right;
                while (MinNode->_left) {
                    MinParNode = MinNode;
                    MinNode = MinNode->_left;
                }
                swap(cur->_key, MinNode->_key);
 
                if(MinParNode->_left == MinNode) {
                    MinParNode->_left = MinNode->_right;
                }
                else {
                    MinParNode->_right = MinNode->_right;
                }
                delete MinNode;
                MinNode = nullptr;
            }
            return true;
        }
    }
    return false;
}

 

 解读:找到 3 结点中右子树的最小结点,替换它们的值。定义 MinParNode 为 cur,MinNode 为 cur 的右节点。首先让 MinNode 指向 3 的右孩子(1),然后一直向左边找知道找到 nullptr 为止,此时 MinNode 指向的就是最小的结点了,此时让 3 与 MinNode 的值交换即可。

交换后,删除 3 就变成了删除 MinNode,我们需要弄清 MinNode  和 MinParNode 的指向关系:

  •     如果 MinParNode 的左孩子是 MinNode,则让 MinParNode 的左指向 MinNode 的右。
  •     如果 MinParNode 的右孩子是 MinNode,则让 MinParNode 的右指向 MinNode 的右。(这里让 MinParNode 指向 MinNode 的右的原因是 MinNode 已是最小结点,不可能有左孩子了)

C++搜索二叉树_第13张图片 

搜索二叉树的应用 

K 模型 

K 模型,即只有 key 作为关键码,结构中只需存储 key 即可,关键码就是需要搜索到的值。

举个例子:对于单词 word,我们需要判断该单词是否拼写正确

  • 以单词集合中的每个单词作为 key,构建一个搜索二叉树。
  • 在二叉树中检索该单词是否存在,存在则拼写正确,不存在则拼写错误。

KV 模型 

 KV 模型,每一个关键码 key,都有与之对应的值 Value,即 的键值对。

这就像 Python 中的 dict 字典类型一样,key 和 value 对应。

这在生活中也是非常常见的,比如英汉词典就是英文与中文的对应关系,通过英文可以快读检索到对应的中文,英文单词也可以与其对应的中文构建出一种键值对:

再比如统计单词次数,统计成功后,给定的单词就课快速找到其出现的次数,单词与其出现的次数就构建出了一种键值对:

 代码演示:我们实现一个简单的英汉词典 dict,可以通过英文找到对应的中文。

具体实现方式如下:

  • <单词, 中文含义>  以键值对构造搜索二叉树,值得注意的是,搜索二叉树需要比较,键值对比较时只比较 Key。
  • 查询英文单词时,只需给出英文单词,就可以快速检索到对应的 Key

 

namespace KV
{
	template
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode* _left;
		BSTreeNode* _right;
		K _key;
		V _value;
 
		//pair _kv;
 
		BSTreeNode(const K& key, const V& value)
			:_left(nullptr)
			, _right(nullptr)
			, _key(key)
			, _value(value)
		{}
	};
 
	template
	struct BSTree
	{
		typedef BSTreeNode Node;
	public:
		BSTree()
			:_root(nullptr)
		{}
 
		bool Insert(const K& key, const V& value)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key, value);
				return true;
			}
 
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
 
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}
 
			cur = new Node(key, value);
			if (parent->_key < key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}
 
			return true;
		}
 
		Node* Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return cur;
				}
			}
 
			return nullptr;
		}
 
		bool Erase(const K& key)
		{
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
 
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					// 找到,准备开始删除
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						if (parent == nullptr)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
								parent->_left = cur->_right;
							else
								parent->_right = cur->_right;
						}
 
						delete cur;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						if (parent == nullptr)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
								parent->_left = cur->_left;
							else
								parent->_right = cur->_left;
						}
 
						delete cur;
					}
					else
					{
						Node* minParent = cur;
						Node* min = cur->_right;
						while (min->_left)
						{
							minParent = min;
							min = min->_left;
						}
 
						cur->_key = min->_key;
						cur->_value = min->_value;
 
 
						if (minParent->_left == min)
							minParent->_left = min->_right;
						else
							minParent->_right = min->_right;
 
						delete min;
					}
 
					return true;
				}
			}
 
			return false;
		}
 
	
 
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}
 
	private:
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}
 
			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
			_InOrder(root->_right);
		}
	private:
		Node* _root;
	};
 
	void TestBSTree1()
	{
		// 字典KV模型
		BSTree dict;
		dict.Insert("sort", "排序");
		dict.Insert("left", "左边");
		dict.Insert("right", "右边");
		dict.Insert("map", "地图、映射");
		//...
 
		string str;
		while (cin>>str)
		{
			BSTreeNode* ret = dict.Find(str);
			if (ret)
			{
				cout << "对应中文解释:" << ret->_value << endl;
			}
			else
			{
				cout << "无此单词" << endl;
			}
		}
	}
 
	void TestBSTree2()
	{
		// 统计水果出现次数
		string arr[] = { "苹果", "西瓜","草莓", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
		BSTree countTree;
		for (auto& str : arr)
		{
			//BSTreeNode* ret = countTree.Find(str);
			auto ret = countTree.Find(str);
			if (ret != nullptr)
			{
				ret->_value++;
			}
			else
			{
				countTree.Insert(str, 1);
			}
		}
 
		countTree.InOrder();
	}
}

 

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