C++搜索二叉树
搜索二叉树（SearchBinaryTree）
搜索二叉树的概念
概念：搜索二叉树又称为二叉排序树，它或者是一颗空树，或者是具有以下性质的二叉树：
- 若其左子树不是空，则左子树上所有节点的值都小于根结点的值
- 若其右子树不是空，则右子树上所有结点的值都大于根结点的值
- 其左右子树必须都是二叉搜索树
至于叫它 "搜索二叉树"，还是 "二叉搜索树"，这个似乎也没有特别的规定，应该都是可以的。
结论：任意一个子树都需要满足，左子树的值 < 根 < 右子树的值，才能构成二叉搜索树。
搜索二叉树的优势
既然叫搜索二叉树，它肯定是用来搜索的，当满足搜索二叉树时你将可以快速地查找任意的值。
举个例子： 查找 7
放到以前我们如果不用二分查找，可能会选择用暴力的方式去从头到尾遍历一遍。
但现在学了搜索二叉树，我们就可以轻松找到这个 7 了，不信你看：
STEP1：7 比 8 (根节点) 小，根据搜索二叉树的性质，它必然不会出现在右子树 (右边大) ！
所以，直接 锁定 左子树开始找：
STEP2： 7 比 3 大，根据性质它肯定不会出现在左子树 (左边小) ！
这次，直接 锁定 右子树继续找：
STEP3： 我们继续对比，7 比 6 大，所以在右边，就这么轻轻松松的找到了：
搜索二叉树查找一个值的最坏情况，也只是查找高度次。
二叉搜索树的时间复杂度：O(N)
上面的例子举得太丝滑了，会让人误以为搜索二叉树的时间复杂度是 O(logN) ……
但实际上是 O(N） ！！！
因为这棵树是有可能会 蜕化 (Degenerate) 的，极端情况下会蜕化成一个 "单边树" ：
最差情况：二叉搜索树蜕化为单边树（或类似单边），其平均比较次数为：
但是在好的情况下，其搜索效率也是非常可观的：
最优情况：二叉搜索树为完全二叉树（或接近完全二叉树），其平均比较次数为：
对于时间复杂度的分析我们要做一个悲观主义者，根据最差情况去定时间复杂度。
总结：搜索二叉树的时间复杂度为 O(n)
搜索二叉树的改良方案
如果搜索二叉树蜕化成了单边树，其性能也就失去了，能否进行改进让它保持性能？
如何做到不论按照上面次序插入关键码，二叉搜索树的性能均能达到最优？
搜索二叉树由于控制不了极端情况，与 O(logN) 失之交臂，但平衡二叉搜索树做到了。
"平衡二叉树的搜索效率极高"
严格意义上来说满二叉树才是 O(logN)，完全二叉树是接近 O(logN) 。而平衡搜索二叉树维持左右两边均匀程度，让它接近完全二叉树，从而让效率趋近 O(logN)。
搜索二叉树的实现
搜索二叉树的定义
搜索二叉树，SearchBinaryTree 名称实在是又臭又长！我们不如取名为 SBTree，但是 SBTree 听起来好像有点不文明，我们还是叫 BSTree 吧。这里我们用模板，模板参数我们给了一个 K，表示 key 的意思（模板参数并非一定要用 T）。
template
struct BSTreeNode {
BSTreeNode* _left;
BSTreeNode* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)
: _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _key(key) {}
}; 下面我们来定义整个树，BSTreeNode 也有些长了，我们不如将其 typedef 成 Node 。
这里我们构造函数都没必要写，它自己生成的就够用了：
搜索二叉树的插入
我们先来实现最简单的插入操作：
- 如果树为空，则直接新增结点，赋值给 root 指针。
- 如果树不为空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点。
bool Insert(const K& key);Insert 的实现我们可以用递归，也可以用非递归，这一块递归比非递归更难理解。
秉着先难后易的态度，我们先讲比较难理解的非递归版本！
分析
Step1：首先检查是否有根结点 _root，如果没有我们就 new 一个结点出来作为根结点。
此时插入成功，返回 true。
Step2：插入就需要找到插入位置，我们定义一个 cur 变量，从根节点开始，
根据搜索二叉树 "SB" 性质，将 cur 结点的值与插入的值 x 进行大小比较。
- 如果插入的值大于当前结点值，则将 cur 结点向右移动 cur=cur->_right ；
- 如果插入的值小于当前节点值，就将 cur 结点向左移动 cur=cur->_left。
值得注意的是，我们还需要额外记录一下 cur 的父结点，因为你不知道什么时候会碰 null 结束。
并且当我们找到插入位置后，仅仅 new 上一个新结点给 cur 是完成不了插入操作的！
因为直接这么做 cur 也只是一个局部变量而已，你需要 cur 跟上一层（cur 的父亲）相链接才行！
为了能找到上一层，所以我们还需要额外定义一个 prev 变量来记录 cur 的父结点，
在我们更换 cur 结点时记录父结点的位置 prev=cur 即可。
当然了，还有一种插入失败的情况，就是判断大小时出现等于的情况，返回 false 即可。
（重复的值是不允许插入的，默认情况是不允许冗余的！但是也有针对这个的变形，后续再说）
Step3：插入！new 一个新结点给 cur，此时 cur 只是一个局部变量，必须要和父亲链接，
此时应该链接父亲的左边，还是链接父亲的右边？我们不知道，所以我们需要再做一个比较！
- 如果父节点的值大于插入的值，则将 cur 链接到父亲左边
prev->_left=cur； - 反之将 cur 链接到父亲右边
prev->_right=cur。
最后，插入成功返回 true，我们的插入操作就大功告成了。
代码演示：Insert 接口的实现
/* 插入 */
bool Insert(const K& x) {
/* 检查是否由根节点 */
if (_root == nullptr) { // 如果根节点为空指针
_root = new Node(x); // 创建一个新结点作为根结点
return true; // 插入成功，返回真
}
Node* prev = nullptr; // 用于记录cur的父亲
Node* cur = _root; // 从根节点开始
/* 找到插入位置 */
while (cur != nullptr) {
if (x > cur->_key) { // 如果插入的值大于当前结点值，则向右移动
prev = cur; // 保存父节点
cur = cur->_right; // 令cur右滑
}
else if (x < cur->_key) { // 如果插入的值小于当前结点值，则向左移动
prev = cur;
cur = cur->_left; // 令cur左滑
}
else { // 相等的情况，禁插
return false; // 插入失败，返回假
}
}
/* 插入位置已找到，准备进行链接操作 */
cur = new Node(x); // 创建一个新结点，赋给cur，此时cur为局部，需与父结点链接
if (prev->_key > x) { // 如果父结点的值大于插入的值，则将cur链接到左边
prev->_left = cur;
}
else { // 如果父节点的值小于插入的值，则将cur链接到右边
prev->_right = cur;
}
return true; // 插入成功，返回真
}再写一个中序遍历来测试一下插入的效果：
void InOrder(Node* root) {
if (root == nullptr) {
return;
}
InOrder(root->_left); // 左
cout << root->_key << " "; // 值
InOrder(root->_right); // 右
}模拟出一个测试用例：
void TestBSTree() {
BSTree t;
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
for (auto e : a) {
t.Insert(e);
}
t.InOrder(); ❌ 没法传根
} 此时会出现一个问题，因为根是私有的，我们没办法把根传过去。
此时我们可以选择在类内部写一个成员函数 GetRoot 去取根，但是这里我们可以选择这么做：
void InOrder() {
_InOrder(_root);
}
private:
// 改为内部函数
void _InOrder(Node* root) {
if (root == nullptr) {
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};干脆将刚才我们实现的中序设为 private 私有，然后再写一个 InOrder 放在公有的区域。
这就是在类内访问 _root 了，没有什么问题。
如此一来我们在类外就可以直接调用 InOrder，并且也不需要传递参数了。
int main(void)
{
TestBSTree();
return 0;
}运行结果：
搜索二叉树的查找
find 实现很容易，用和刚才一样的思路，从根结点开始查找。从根开始，如果要查找的值大于 cur 目前的值，则让 cur 往右走，反之往左走。当查找得值与 cur 的值相等时则说明找到了，返回 true。当 cur 触及到空（while 循环结束）则说明找不到，返回 false。
代码实现：搜索二叉树的查找
/* 查找 */
bool Find(const K& target) {
Node* cur = _root; // 从根结点开始查找
while (cur != nullptr) {
if (target > cur->_key) { // 如果目标值比当前结点值大，cur↘
cur = cur->_right;
}
else if (target < cur->_key) { // 如果目标值比当前结点值小，cur↙
cur = cur->_left;
}
else { // 如果目标值等于结点值，说明找到了
/* 找到了，返回真 */
return true;
}
}
/* 没找到，返回假 */
return false;
}搜索二叉树删除
搜索二叉树真正困难的是删除，搜索二叉树删除的实现是有很有难度的。
没有孩子或者只有一个孩子，可以直接删除，孩子托管给父亲。
两个还是没办法给父亲，父亲养不了这么多孩子，但是可以找个人替代父亲养孩子。
当然，也不能随便找，找的人必须仍然维持搜索二叉树的性质，这是原则。"你不能说搞得我都不是搜索二叉树了，那还玩个锤子"必须比左边的大，比右边的小。所以在家族中找是最合适的。找左子树的最大值结点，或者右子树的最小值结点。
首先要查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回。
如果存在，那么删除的结点可能分为下面四种情况：
a. 要删除的结点无孩子结点
b. 要删除的结点只有左孩子结点
c. 要删除的结点只有右孩子结点
d. 要删除的结点有左孩子结点也有右孩子结点
看起来有待删除节点有 4 种情况，但实际上 a 和 b，或 a 和 c 可以合并。
因此，真正的删除过程如下：
- 情况B：删除该结点且使被删除结点的父结点指向被删除节点的左孩子结点 —— 直接删除。
- 情况C：删除该节点且使被删除结点的父节点指向被删除节点的右孩子结点 —— 直接删除。
- 情况D：在它的右子树中寻找中序下的第一个结点（值最小），用它的值填补到被删除结点中，再来处理该结点的删除问题 —— 替换法删除。
① 该结点无左孩子
如果要删除下面这颗二叉树的 10 节点和 4 节点：
我们还是定义一个 cur 变量，当 cur 找到 10 结点后，如果左侧为空情况如下：
- 若该结点为 root，直接让 root 等于它的右孩子结点。
- 对于删除 10 结点：若 cur==father->right，则令 parent->right = cur->right （如图所示）
- 对于删除 4 结点：若 cur==father->left，则令 parent->left=cur->right （如图所示）
- 最后删除 cur 结点
代码演示：
if (cur->_left == nullptr) {
/* 判断要删除的结点是否为根结点 */
if (cur == _root) {
_root = cur->_right;
}
else {
if (cur == father->_right) {
/* 如果 cur 比 father 大 */
father->_right = cur->_right;
}
else {
father->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
cur = nullptr;
}② 该结点无右孩子
如果要删除 14 结点，删除逻辑和删除左孩子是类似的：
代码演示：
else if (cur->_right == nullptr) {
/* 判断是否为根结点 */
if (cur == _root) {
_root = cur->_left;
}
else {
if (cur == father->_right) {
/* cur 比父结点大 */
father->_right = cur->_left;
}
else {
father->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
cur = nullptr;
}③ 该结点有左右两个孩子
如果删除的结点有左右两个孩子，我们就在它的右子树中寻找中序的第一个结点。
即 与右子树的最小值进行替换，当然也可以选择左子树的最大值进行替换。
例子：比如下面这颗子树，我们要删除 3 结点：
如果该结点有两个孩子，则采用如下替换法：
该结点和右子树的最小值或左子树的最大值进行值的替换，然后删除替换后的结点。
这里我们采用与右子树的最小值进行替换。
代码演示：非递归版本的 Erase
bool Erase(const K& key) {
Node* father = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr) {
if (cur->_key < key) {
father = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
father = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
/* 找到了！ 情况一：该节点没有左孩子 情况二：该节点没有右孩子 */
if (cur->_left == nullptr) {
/* 判断是否为根结点 */
if (cur == _root) {
_root = cur->_right;
}
else {
if (cur == father->_right) {
//cur 比 father大
father->_right = cur->_right;
}
else {
father->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
cur = nullptr;
}
else if (cur->_right == nullptr) {
/* 判断是否为根结点 */
if (cur == _root) {
_root = cur->_left;
}
else {
if (cur == father->_right) {
/* 如果 cur 比父结点大 */
father->_right = cur->_left;
}
else {
father->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
cur = nullptr;
}
else {
/* 有两个节点，替换 */
Node* MinParNode = cur;
Node* MinNode = cur->_right;
while (MinNode->_left) {
MinParNode = MinNode;
MinNode = MinNode->_left;
}
swap(cur->_key, MinNode->_key);
if(MinParNode->_left == MinNode) {
MinParNode->_left = MinNode->_right;
}
else {
MinParNode->_right = MinNode->_right;
}
delete MinNode;
MinNode = nullptr;
}
return true;
}
}
return false;
}
解读：找到 3 结点中右子树的最小结点，替换它们的值。定义 MinParNode 为 cur，MinNode 为 cur 的右节点。首先让 MinNode 指向 3 的右孩子（1），然后一直向左边找知道找到 nullptr 为止，此时 MinNode 指向的就是最小的结点了，此时让 3 与 MinNode 的值交换即可。
交换后，删除 3 就变成了删除 MinNode，我们需要弄清 MinNode 和 MinParNode 的指向关系：
- 如果 MinParNode 的左孩子是 MinNode，则让 MinParNode 的左指向 MinNode 的右。
- 如果 MinParNode 的右孩子是 MinNode，则让 MinParNode 的右指向 MinNode 的右。（这里让 MinParNode 指向 MinNode 的右的原因是 MinNode 已是最小结点，不可能有左孩子了）
搜索二叉树的应用
K 模型
K 模型，即只有 key 作为关键码，结构中只需存储 key 即可，关键码就是需要搜索到的值。
举个例子：对于单词 word，我们需要判断该单词是否拼写正确
- 以单词集合中的每个单词作为 key，构建一个搜索二叉树。
- 在二叉树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
KV 模型
模型，每一个关键码 key，都有与之对应的值 Value，即
这就像 Python 中的 dict 字典类型一样，key 和 value 对应。
这在生活中也是非常常见的，比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快读检索到对应的中文，英文单词也可以与其对应的中文构建出一种键值对：
再比如统计单词次数，统计成功后，给定的单词就课快速找到其出现的次数，单词与其出现的次数就构建出了一种键值对：
代码演示：我们实现一个简单的英汉词典 dict，可以通过英文找到对应的中文。
具体实现方式如下：
- <单词, 中文含义> 以键值对构造搜索二叉树，值得注意的是，搜索二叉树需要比较，键值对比较时只比较 Key。
- 查询英文单词时，只需给出英文单词，就可以快速检索到对应的 Key
namespace KV
{
template
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode* _left;
BSTreeNode* _right;
K _key;
V _value;
//pair _kv;
BSTreeNode(const K& key, const V& value)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _key(key)
, _value(value)
{}
};
template
struct BSTree
{
typedef BSTreeNode Node;
public:
BSTree()
:_root(nullptr)
{}
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 找到，准备开始删除
if (cur->_left == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
}
else
{
Node* minParent = cur;
Node* min = cur->_right;
while (min->_left)
{
minParent = min;
min = min->_left;
}
cur->_key = min->_key;
cur->_value = min->_value;
if (minParent->_left == min)
minParent->_left = min->_right;
else
minParent->_right = min->_right;
delete min;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root;
};
void TestBSTree1()
{
// 字典KV模型
BSTree dict;
dict.Insert("sort", "排序");
dict.Insert("left", "左边");
dict.Insert("right", "右边");
dict.Insert("map", "地图、映射");
//...
string str;
while (cin>>str)
{
BSTreeNode* ret = dict.Find(str);
if (ret)
{
cout << "对应中文解释：" << ret->_value << endl;
}
else
{
cout << "无此单词" << endl;
}
}
}
void TestBSTree2()
{
// 统计水果出现次数
string arr[] = { "苹果", "西瓜","草莓", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
BSTree countTree;
for (auto& str : arr)
{
//BSTreeNode* ret = countTree.Find(str);
auto ret = countTree.Find(str);
if (ret != nullptr)
{
ret->_value++;
}
else
{
countTree.Insert(str, 1);
}
}
countTree.InOrder();
}
}