12.4~12.14概率论复习与相应理解（学习、复习、备考概率论，这一篇就够了）

未分配的题目 

 

概率计算（一些转换公式与全概率公式）与实际概率 ，贝叶斯

一些转换公式

相关性质计算 

常规，公式的COV与P

复习相关公式

计算出新表达式的均值，方差，再套正态分布的公式

COV的运算性质

如果两变量独立，那么EXY=EXEY

算COVXY,就是EXY-EXEY

E(X[X]),对于带绝对值的均值，直接进行积分，利用积分的对称关系求解

期望表达式中的式子，就是每个点对应的函数式的值。

 

面积为ΠR^2，派为常数，所以面积的期望取决于X^2的期望，方差取决于X^2的方差

COV(S,C)最终可化简为COV（R,R^2)=E(R*R^2)-E(R)E(R^2)

X^2的方差，计算一下X^4的积分，一共要算X^3,X^4两个积分

对于此类型的X,Y变化，满足变化后的量，均值为0，方差为1

奇怪,不规则的COV,P

一般就是离散的二维变量X,Y。核心就是依据题目特点，写出X,Y的离散分布表，然后就计算，EXY,EX,EY,EX^2,EY^2,DX,DY等关键数据

即主要是考分布律的求解

联合分布律，直接联合各变量可能出现的所有离散值列表，然后分别计算格子上各种情况的概率，就变得一目了然了

直接依照各变量可能取值列表，然后明确每个格子所代表的实际含义，再进行概率计算即可

标准差等的均值，方差性质

样本均值就是分布均值，与取样数量N无关；样本方差为分布方差除以N。

样本均值的均值是分布均值。

样本方差

样本均值为X拔，样本均值的均值就是总体均值；

样本均值的方差是总体方差除以N

样本方差为S的平方，样本方差的均值等于总体的方差

区分样本均值的方差与样本方差

还需要区分的是，样本均值与样本，即X拔与X，X与μ，X拔与μ

另外，对于样本方差的方差，考虑构建卡方分布

即样本方差为N-1，除以总体方差后，可以转为N-1的卡方分布，然后样本方差的方差，可以转化为卡方分布的方差，卡方分布的方差为二倍的自由度

两种方法，一种是转为自由度为1的卡方分布，然后注意卡方分布的方差为2^N,均值为N；一种是利用方差的定义，即样本减去均值的差的均值，满足这个式子，所以就是在问样本方差，为原样本方差除以取样数量

还有一种思路是，涉及均值，绝对值等要素组合在一起时，考虑直接积分，利用正态分布的对称性进行求解。

ES^2=DX,E(X拔^2)=D(X拔）+E(X拔）^2,

D(X拔）=1/nDX,E(X拔）=EX

常见分布

正态分布公式背写，

常见分布缩写，P是泊松，E是指数，G是几何分布

常见分布的期望与方差，泊松的期望就是朗姆达，方差？

指数的期望是1/朗姆达，方差为1/朗姆达的平方。（理解为，指数分布的含义为等待时间，参数朗姆达的含义为发生次数，即频率，所以平均等待时间为频率事件间的间隔，1/朗姆达）

几何分布？在指数分布的基础上，就只是方差还要再多乘一个1-p,即1-参数

二项分布为期望为np,方差为np(1-p)

对于后一项的处理方式，为直接积分，即回归期望的定义。

对于期望式中难以处理的部分，如绝对值以及其他不能转换的部分，可以考虑直接通过期望定义来进行积分计算

第一空，就是直接离散化计算概率，不用考虑卷积公式。第二问就是直接展开，利用独立分布时，EXY=EXEY进行计算

此题需要注意，平均就诊时间是参数的倒数，参数的含义 是一定时间内事件发生的次数、频率，所以间隔时间是参数的倒数

密度：朗姆达E^-朗姆达，分布：1-E^-朗姆达

总点击次数为4，类似前题，直接离散化穷举计算即可

两个都服从泊松分布，第一个参数为3，第二个参数为2。用卷积公式，这两个是独立的，然后有一个联合密度函数，就在那个联合密度函数上进行卷积公式。也不用卷积公式，直接离散化的穷举计算即可

满足指数分布，可以直到各自的均值与方差，然后由相关系数知道均方差，均方差=EXY-EXEY，就求出EXY

指数分布的均值为参数的倒数，方差为参数倒数的平方，也是均值的平方

泊松分布的均值为参数，方差也为参数

几何分布的均值为参数的倒数，方差为参数倒数的平方基础上再乘个Q

基于标准正态分布间的转化 

卡方分布是直接相加

T分布是分子为一个标准正态，卡方为分布除以其自由度后开根号 。T的自由度就是分母卡方的自由度

F分布分子分母均为卡方除以其自由度后开根号

样本方差除以方差可以转化为卡方分布

从而，样本方差在分子上时，可为卡方分布；在分母上是，为标准差的形式，则为除以自由度后开根号，即T分布。分子分母都有样本方差，考虑F分布

即出现样本方差，就需要考虑到卡方分布，T分布,F分布

X与Y独立，且都为标准正态分布，那么平方加和为自由度为2的卡方分布，找分位点即可

相同原理可以应用于炮弹落点为（X,Y)，且X,Y独立满足标准正态分布，那么落地到原点的距离Z满足Z^2=X^2+Y^2,即Z^2服从自由度为2的卡方分布

第一空直接运算，就是自由度为6的卡方分布

DS^2，考虑构造卡方分布，（N-1)S^2/方差为自由度为N-1的卡方分布，然后卡方分布的方差为两倍的自由度，即可得;第二空，为自由度为N-1的T分布，T分布的均值为0，方差为N/N-2;第三空为自由度为1的卡方分布

第一空为自由度为N的卡方分布；第二空为F分布，分子自由度为N，分母为M

注意分母的i是从3开始1，而不是从1开始的，还有就是T分布与F分布一定要注意除以各自的自由度

注意第一个空，为样本均值，减完后，其分布满足均值为0，因为样本均值的均值等于总体均值

但要注意它的方差，样本均值不是一个常量，而是一个变量，如果为常量，如总体均值，那么这个分布的方差不会变；但是为样本均值，它的方差为总体方差除以n,但是依然不能直接运算，因为X1与样本均值不独立，应把其拆为独立的部分后再进行运算

对于第二问，涉及到样本均值，就一定会有样本方差，考虑自由度减1；不可用第一问的结论，因为这N个分布并不相互独立，而卡方分布必须满足相加的各几个分布相独立

统计量的性质

无偏估计

若为无偏估计，那么统计量的均值为数值期望

三个想法；第一是直接拆开，然后进行运算；第二是构建辅助分布，然后利用卡方分布；第三同样是辅助分布，但是是利用EX^2转方差的性质。

这里需要注意是可以成功构建一个卡方分布的，因为两两样本间的差值是相互独立的，但是需要注意上例中，涉及到样本均值就无法建立卡方分布，因为样本均值并非与每个样本独立。

置信区间的计算

对于总体均值的置信区间，若总体方差已知，就构建正态分布

若总体方差未知，就构建T分布

对于总体方差的置信区间，无论总体均值是否已知，都构建卡方分布来进行求解，

若总体均值已知，那么分子上的X-均值，就是一个一个算

若总体均值未知，那么分子上的X-均值，就不能一个一个算，因为此时总体均值不知道，那么就是通过样本方差来解决这一问题，即N-1乘以样本方差，等于那个，不过是自由度减一，而且每项减的是样本均值而不是总体均值

在总体方差估计区间中，需注意卡方分布是不对称的，也就是要查两次表，左右都是二分之α的水平

对总体方差估计，总体均值未知，采用N-1的卡方分布，问有无增大，所以检验假设为方差<=70，统计量应分布于左侧，拒绝域为右侧，右侧占0。05

对方差估计，均值未知，考虑自由度为N-1的卡方分布，即(N-1)样本方差除以估计方差，左右两侧为α/2的水平

对总体均值估计，方差已知，采用标准正态，注意假设为均值小于等于32，然后统计量水平为单侧（左侧），拒绝域在右侧

对总体均值的估计，总体方差不知，用自由度-1的T分布，左右为二分之α，即0.025

对总体均值估计，总体方差未知，采用自由度N-1的T分布，置信度95%，分布在左右两侧

对总体方差估计，总体均值未知，采用N-1的卡方分布，分子为N-1*S^2，分母为方差，左右为α/2

问方差，方差估计，那就是卡方分布，由于均值未知，所以依据样本方差构建，样本方差乘（样本数量-1）除以总体方差，就是n-1的卡方分布，问是否明显变化，双侧估计，拒绝域就是比1-α/2小或者比α/2大

第一类第二类错误

第一类第二类错误理解

主要是第二类错误的计算

第一类错误是说原假设为真，然后放弃原假设，即弃真错误；第二类错误是说原假设为假，接受原假设。一般思路为固定犯第一类错误的概率，然后缩小第二类错误的概率。

犯第一类错误的概率就是α，固定后，就可以确定拒绝域边界的情况。

犯第二类错误，原假设为假，依然接受，那么就是依据第一类错误固定下的边界C，可以表达出相应量在的一个区间里（即不在拒绝域内），然后可以计算在实际分布条件下分布在这个区间里的概率

就是说，拒绝域的边界值，和第一类错误的概率，α水平息息相关，互为决定。

变量间转换，概率计算题

 求积分公式

涉及一维与二维

考虑平方的转化

卷积公式计算

证明题

似然估计练练

理解

 密度函数与分布函数的理解

有一个函数，它可以取很多值，如果取每个值的概率都一样，那就是分布均匀的，是均匀函数，如果分布不均匀，就不是均匀函数分布；每个值在函数取值出现的概率就是密度函数，均匀时都一样；不均匀时根据出现的值，有其对应的出现概率。

分布函数可以理解为，分布函数这个值，然后函数取值的点落在这个值划定的左区间内的概率（或者可以说是占比）

从这个角度，密度函数的自变量取值范围，就是对应会出现的值，然后这个值通过密度函数会得到其出现的概率；而分布函数就是立一个区间右端点，然后问自变量（可能出现的值）取值在这个区间里的概率。

二维变量密度函数，卷积公式理解

卷积公式就是，原来两个变量x,y，然后有一个z综合了2个变量的信息，通过卷积公式就是把其中一个变量视为常数，然后用z去替换掉剩下的那个变量，利用的方式就是一维的函数替换，求反函数，然后乘一个求导（注意另一个变量在此时表现为常数），之后就得到了把其中一个变量替换后的x,z联合分布（以替换y为例），然后再对每个z收缩其所有的x，即可求得z的单独密度函数。

即替掉哪个变量（计为Y）时，就求Y与Z的关系式（Y为因变量），把X视为常数，然后在函数里踢掉Y为Z，然后乘一个YZ关系式中对Z求导的结果（可能涉及到X，求导时其视为常数），最后就收缩所有的X得到Z的式子。

第一步是要得到联合密度函数，就是把不同变量X,Y的取值综合在一起的一个密度联式

在一维当中，Y与X满足一个关系式（Y为因变量），X已知分布函数，那么转换求反函数，得到X为因变量的与Y的关系式，然后这个表达式对Y求导，取绝对值，把X当中的换掉为Y，就是Y的分布函数

对于泊松分布与指数分布的区分

泊松分布与指数分布共用一个参数，就是朗姆达，这个参数的含义就是一定时间内事件发生的次数，频率，是次数、频率。

相应的，等待时间，寿命，就是频率的倒数。

要根据实际意义确定真正的朗姆达