【动态规划】最长公共子序列Python实现

问题描述

• 给定两个序列$X=\{x_1,x_2,\cdots ,x_m\}$和$Y=\{y_1,y_2,\cdots ,y_n\}$，找出$X$和$Y$的最长公共子序列

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最长公共子序列的结构

• 设序列$X=\{x_1,x_2,\cdots ,x_m\}$和$Y=\{y_1,y_2,\cdots ,y_n\}$的最长公共子序列为$Z=\{z_1,z_2,\cdots ,z_k\}$
  • 若$x_m=y_n$，则$z_k=x_m=y_n$，且$Z_{k-1}$是$X_{m-1}$和$Y_{n-1}$的最长公共子序列
  • 若$x_m\ne y_n$且$z_k\ne x_m$，则$Z$是$X_{m-1}$和$Y$的最长公共子序列
  • 若$x_m\ne y_n$且$z_k\ne y_n$，则$Z$是$X$和$Y_{n-1}$的最长公共子序列

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子问题的递归结构

• 当$x_m=y_n$时，找出$X_{m-1}$和$Y_{n-1}$的最长公共子序列，然后在其尾部加上$x_m$
• 当$x_m\ne y_n$时，找出$X_{m-1}$和$Y$的一个最长公共子序列及$X$和$Y_{n-1}$的一个最长公共子序列，这两个公共子序列中较长者即为$X$和$Y$的最长公共子序列

$c[i][j]$递归方程

$$c[i][j]=\{\begin{array}{ll}0,& i=0,j=0\\ c[i-1][j-1]+1,& i,j>0;x_i=y_j\\ \max \{c[i][j-1],c[i-1][j]\},& i,j>0;x_i\ne y_j\end{array}$$

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时间复杂性

• 由于每个数组单元的计算耗费$O(1)$时间，因此算法耗时$O(mn)$

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构造最长公共子序列

• 在算法$LCS$中，每次递归调用使$i$或$j$减$1$，因此算法的计算时间为$O(m+n)$

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Python实现

def longest_common_subsequence(str_1, str_2):
    m = len(str_1)
    n = len(str_2)

    # 创建一个二维数组来存储子问题的解
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

    # 填充二维数组
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if str_1[i - 1] == str_2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

    # 构造最长公共子序列
    lcs = ''

    i, j = m, n
    while i > 0 and j > 0:
        if str_1[i - 1] == str_2[j - 1]:
            lcs = str_1[i - 1] + lcs

            i -= 1
            j -= 1
        elif dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]:
            i -= 1
        else:
            j -= 1

    return lcs


str_1 = 'ABCDGH'
str_2 = 'AEDFHR'

lcs = longest_common_subsequence(str_1, str_2)

print(f'最长公共子序列: {lcs}')

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算法的改进

• 如果只需要计算最长公共子序列的长度，则只用到数组$c$的第$i$行和第$i-1$行
• 因此，用两行的数组空间就可以计算出最长公共子序列的长度，可将空间需求减至$O(\min \{m,n\})$

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