平面上点到直线的距离

平面上点到直线的距离

• 设坐标平面上有点$P(x_1,y_1)$和直线$l:Ax+By+C=0$,$A,B$不全为0
• 点$P$到直线$l$的的距离的算法推导如下
  • 作直线$m$通过点$P(x_1,y_1)$,并且和直线$l$垂直,设垂足为$P_0(x_0,y_0)$
  • 令:$d^2=|P_0{P}_1{|}^2=(x_1-x_0{)}^2+(y_1-y_0{)}^2$(0),所求的就是$d$
  • 由直线垂直对应的方程关系可设直线$P{P}_0$的方程为$Bx-Ay+D=0$(1)
    • 因为$P$在$P{P}_0$上,从而$B{x}_0-A{y}_0+D=0$(1-1)
    • 两式相减,得$B(x-x_0)-A(y-y_0)=0$(1-2)
    • 将$P_0$代入到(1-2),得$B(x_0-x_1)-A(y_0-y_1)$=0(1-3)
  • 又因为$P_0$还在$l$上,从而$A{x}_0+B{y}_0+C=0$,从而$C=-A{x}_0-B{y}_0$(1-4),
  • 构造$t=A{x}_1+B{y}_1+C$,由(1-4),得$t=A{x}_1+B{y}_1-A{x}_0-B{y}_0$=$A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)$(1-5),即$A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)=t$(1-6)
    • 将(1-3)两边平方加上(1-6)两边平方,整理得
    • $(A^2+B^2)[(x_1-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2]$=$t^2$(1-7);代入(0),得$(A^2+B^2)d^2$=$t^2$
    • 所以$d^2$=$\frac{t^2}{(A^2+B^2)}$
    • $d$=$\frac{|t|}{\sqrt{A^2+B^2}}$=$\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$(1-8)