【Nov1 P3,可敬的二分答案】软件公司
话说二分答案是个好东西，好打好用～可是对于二分答案解的正确性的验证的方法却有许多。这道题是经典的DP验证，对于这段DP验证可不是那么好想。恩，切入正题。
【题目描述】
一个软件开发公司同时要开发两个软件，并且要同时交付给用户，现在公司为了尽快完成这一任务，
将每个软件划分成m个模块，由公司里的技术人员分工完成。每个技术人员完成同一软件的不同模块的所
用的天数是相同的，并且是已知的．但完成不同软件的一个模块的时间是不同的，每个技术人员在同一
时
刻只能做一个模块，一个模块只能由一个人独立完成而不能由多人协同完成。一个技术人员在整个开
发
期内完成一个模块以后可以接着做任一软件的任一模块。写一个程序．求出公司最早能在什么时候交
付
软件。
【输入格式】
输入文件第一行包含两个由空格隔开的整数n和m．其中1≤n≤
100
．
1
≤m≤l00.
接下来的n行每行包含两个用空格隔开的整数d1和d2,d1表示该技术人员完成第一个软件中的一个
模块所需的天数，d2表示该技术人员完成第二个软件中的一个模块所需的天数．其中1≤d1，d2
<=
100
。
【输出格式】
输出文件仅有一行包含一个整数d．表示公司最早能于d天后交付软件。
【样例输入】
3
20
1
1
2
4
1
6
【样例输出】
18
【注释】
最快的方案是第一个技术人员完成第二个软件的18个模块．用时18天，第三个技术人员完成第一个
软件的18个模块，用时18天．其余的模块由第二个技术人员完成，用时12天，做完所有模块需要18天。
如果第一个技术人员完成第二个软件的17个模块．第三个技术人员完成第一个软件的17个模块，其余的
模块由第二个技术人员完成．需要用时18天．做完所有模块仍然需要18天，所以少于18天不可能做完所
有模块。
又是有关分组的问题，自然而然，可以考虑二分答案。我们用mid来二分最小时间。这样，用F[i,j]表示i个人完成j个第一个项目的模块后还能做的第二个项目的模块总数。只要求出F[n,m]的值，将它和m比较，就知道在mid的时间内，保证做完m个项目一，是不是能做完m个项目二的模块。如果f[n,m]>m，那么mid就是可行解，我们就可以在这个基础上再进行二分，找到最优解。
有了这个思路，动归方程也很明了了。
F[i,j]=max{F[i-1,j-k]+((mid-a[i]*k)div b[i])} (k<=j)
这里k表示只做k个第一个项目的模块，把mid-a[i]*k的时间用来做第二个项目。
注意几点：首先，要注意k<=j这个条件，否则F数组会超界。其次，将F数组初始化成负值是有必要的，因为会出现由于专注于做项目一而不做项目二的情况。这样F[0,0]要初始化成0。另外，二分答案的区间要定够。由于是二分，多定一些关系不大，就是多找几次的事，但是定小了就悲剧了～最后，由于刚开始找出的mid只是可行解，所以如果出现满足f[n,m]>m的情况时应该记录可行解，在[l,mid-1)的区间中继续二分答案。
参考代码：
1
program
software;
2
var
3
f:
array
[
0
..
100
,
0
..
100
]
of
integer;
4
i,j,l,r,maxx:integer;
5
n,m,mid,ans,c:integer;
6
a,b:
array
[
1
..
100
]
of
integer;
7
function
max(x,y:longint):longint;
8
begin
9
if
x
>
y
then
exit(x)
10
else
exit(y);
11
end
;
12
function
check(x:longint):longint;
13
var
14
i,j,k:integer;
15
begin
16
for
i:
=
0
to
n
do
17
for
j:
=
0
to
m
do
18
f[i,j]:
=-
maxint;
//
初始化成负值
19
f[
0
,
0
]:
=
0
;
20
for
i:
=
1
to
n
do
21
for
j:
=
0
to
m
do
22
for
k:
=
0
to
x
div
a[i]
do
23
if
k
<=
j
then
24
f[i,j]:
=
max(f[i,j],f[i
-
1
,j
-
k]
+
((x
-
a[i]
*
k)
div
b[i]));
25
exit(f[n,m]);
26
end
;
27
begin
28
readln(n,m);
29
for
i:
=
1
to
n
do
30
begin
31
readln(a[i],b[i]);
32
if
a[i]
>
maxx
then
maxx:
=
a[i];
33
if
b[i]
>
maxx
then
maxx:
=
b[i];
//
找出最慢的，乘以总模块数为二分上界
34
end
;
35
maxx:
=
maxx
*
m;
36
l:
=
(m
*
2
)
div
n;
37
r:
=
maxx;
38
while
l
<=
r
do
39
begin
40
mid:
=
(l
+
r)
div
2
;
41
c:
=
check(mid);
42
if
c
>=
m
then
43
begin
44
r:
=
mid
-
1
;
45
ans:
=
mid;
46
end
47
else
l:
=
mid
+
1
;
48
end
;
49
writeln(ans);
50
end
.
（Saltless原创，转载请注明出处）