图论之并查集一

一、概念

并查集主要用于解决元素分组的问题。

并指合并；查指查找；集指集合。通俗一点来说就是查找、合并集合。

对于两个不同的元素，当它们归属于一个父元素或者说拥有一个共同的祖先，我们就说这两个元素同属一个集合。

百度百科解释：并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（disjoint sets）的合并及查询问题。

二、应用

并查集在图中的用途比较广泛。

•  判定无向图中是否存在环
•  合并集合
• 判定元素是否同属一个集合，统计集合个数

三、解析

例一

假定有a、b、c、d四个元素，它们的关系如下图所示，现判断元素a、c是否同属一个集合？

观察发现，元素a、c属于同一个集合，怎么判断的？

通过图我们可以获取两个信息

a ——> b ——> d          c ——> d

 用树的知识解释：

a的父节点是b，b的父节点是d，d是a的祖先

c的父节点是d

元素a和元素c都有一个共同的父节点d，因此元素a、元素c同属一棵树/同属一个集合。 

例二

有这么一个新的元素关系，如下图所示，请问元素a、元素2是否同属一个集合？如若不是，请合并。

显然，元素a和元素2并不属于同一个集合。 那么，怎么合并呢？

我们知道，元素a的祖先是元素d，元素2的祖先是元素3，那么能否直接将元素d和元素3合并呢?

答案是肯定的。正确的操作就是将元素d挂靠到元素3下面（实际操作不会这么暴力，会进行相关优化）。

到了这里，小伙伴大概已经知道了，如何判断两个元素是否处于同一个集合/合并到同一个集合中。

解疑

大家也许会疑惑：集合哪里来的从属关系？

这就是并查集解题的巧妙之处了：在开头我们就解释了，并查集是一种树型的数据结构。

在我们利用并查集处理集合元素的过程中，选出集合中的某一个元素作为集合的代表（元素可以是集合中的任意一个），也就是其他的元素的共同祖先（树中的根节点）。这一步在初始化的代码就能体现出来，后面会讲。

四、代码

4.1 初始化

把每一个元素当做一个单独的集合，并设置父元素指向自己本身

int[] parent;

// n代表集合内元素的个数
public void init(int n){
    parent = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 把每一个元素当做一个单独的集合，并设置父元素指向自己本身
        parent[i] = i;
    }
}

4.2 查

怎样才算找到了某一个元素的父元素？

在初始化时，我们将所有元素的父元素都定义为其本身： parent[i] = i

联系并查集处理集合的方法：选取集合中的一个元素作为代表元素，通俗的说就是选取一个元素作为其他的元素的祖先(最开始集合中只有一个元素)。

说明无论怎么合并，必定会存在：x == parent[x]，而这就是递归的终止条件。

public int find(int x) {
    if (parent[x] == x) return x;
    int parentX = parent[x];
    return find(parentX);
}

思考：这个查找过程能不能进行优化？（联系我们查找的目的）

4.3 合并

合并前，必须先找到两个元素的祖先并判断是否已经在同一个集合。

/**
 * 合并
 * @param x 元素1
 * @param y 元素2
 * @return false：表示两元素已经在同一个集合，不用合并    true：合并成功
 */
public boolean merge(int x,int y) {
    // 1. 找父元素
    int parentX = find(x);
    int parentY = find(y);
    // 若两个元素的祖先相同，说明已经在同一个集合了
    if (parentX == parentY) return false;
    // 2. 合并
    // 这里两种写法，哪一种都可以
    parent[parentX] = parentY;
    // parent[parentY] = parentX;
    return true;
}

4.4 总代码

int[] parent;

/**
 * 1. 初始化
 */
public void init(int n){
    parent = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        parent[i] = i;
    }
}

/**
 * 2. 查
 */
public int find(int x) {
    if (parent[x] == x) return x;
    int parentX = parent[x];
    return find(parentX);
}


/**
 * 3. 合并
 * @param x 元素1
 * @param y 元素2
 * @return false：表示两元素已经在同一个集合，不用合并    true：合并成功
 */
public boolean merge(int x,int y) {
    // 1. 找父元素
    int parentX = find(x);
    int parentY = find(y);
    // 若两个元素的祖先相同，说明已经在同一个集合了
    if (parentX == parentY) return false;
    // 2. 合并
    // 这里两种写法，哪一种都可以
    parent[parentX] = parentY;
    // parent[parentY] = parentX;
    return true;
}

五、总结

到这里，并查集的概念以及代码模板就讲解完成了，后续会继续讲解并查集的相关优化以及有关的算法题目。

希望大家看了我的文章有所收获！

如果有写得不好的地方，欢迎大家指正！

完结撒花！！！！！！！！！