代码随想录算法训练营第53天| 1143.最长公共子序列 1035.不相交的线 53. 最大子序和 动态规划

JAVA代码编写

1143.最长公共子序列

给定两个字符串 text1text2,返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ,返回 0

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。

  • 例如,"ace""abcde" 的子序列,但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1:

输入:text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出:3  
解释:最长公共子序列是 "ace" ,它的长度为 3 。

示例 2:

输入:text1 = "abc", text2 = "abc"
输出:3
解释:最长公共子序列是 "abc" ,它的长度为 3 。

示例 3:

输入:text1 = "abc", text2 = "def"
输出:0
解释:两个字符串没有公共子序列,返回 0 。

提示:

  • 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
  • text1text2 仅由小写英文字符组成。

教程:https://programmercarl.com/1143.%E6%9C%80%E9%95%BF%E5%85%AC%E5%85%B1%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97.html

方法一:动态规划

**思路:**和718. 最长重复子数组有点像,这里是字符串,之前是数组

五部曲:

1.定义二维数组dp[i] [j]:长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i] [j]

2.递推公式

主要就是两大情况: text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,那么找到了一个公共元素,所以dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同,那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列,取最大的。

即:dp[i] [j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i] [j - 1]);

if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
    dp[i] [j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}

3.dp数组如何初始化

默认都是0

4.遍历循序:

从递推公式,可以看出,有三个方向可以推出dp[i] [j],如图:

代码随想录算法训练营第53天| 1143.最长公共子序列 1035.不相交的线 53. 最大子序和 动态规划_第1张图片

5.举例推导dp数组

以输入:text1 = “abcde”, text2 = “ace” 为例,dp状态如图:

代码随想录算法训练营第53天| 1143.最长公共子序列 1035.不相交的线 53. 最大子序和 动态规划_第2张图片

复杂度分析

  • 时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
  • 空间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        // char[] char1 = text1.toCharArray();
        // char[] char2 = text2.toCharArray();
        // 可以在一開始的時候就先把text1, text2 轉成char[],之後就不需要有這麼多爲了處理字串的調整
        // 就可以和卡哥的code更一致

        int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1]; // 先对dp数组做初始化操作
        for (int i = 1 ; i <= text1.length() ; i++) {
            char char1 = text1.charAt(i - 1);
            for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
                char char2 = text2.charAt(j - 1);
                if (char1 == char2) { // 开始列出状态转移方程
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.length()][text2.length()];
    }


    public static void main(String[] args) {
        Solution solution = new Solution();
        solution.longestCommonSubsequence("abcde","ace");
    }
}

从这段代码来看,写的两个for循环,第一个循环遍历text1的索引,定义一个char类型变量char1记录text1上一个索引的字符,第一个循环遍历text2的索引,同样也定义一个char类型变量char2记录text2上一个索引的字符,如果char1与char2相等,则dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1] + 1;如果char1与char2不相等,dp[i] [j] = Math.max(dp[i - 1] [j], dp[i] [j - 1]);这里可以想象为不包含当前索引的dp值。

1035.不相交的线

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1nums2 中的整数。

现在,可以绘制一些连接两个数字 nums1[i]nums2[j] 的直线,这些直线需要同时满足满足:

  • nums1[i] == nums2[j]
  • 且绘制的直线不与任何其他连线(非水平线)相交。

请注意,连线即使在端点也不能相交:每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条,并返回可以绘制的最大连线数。

示例 1:

代码随想录算法训练营第53天| 1143.最长公共子序列 1035.不相交的线 53. 最大子序和 动态规划_第3张图片
输入:nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出:2
解释:可以画出两条不交叉的线,如上图所示。 
但无法画出第三条不相交的直线,因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。

示例 2:

输入:nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]
输出:3

示例 3:

输入:nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1]
输出:2

提示:

  • 1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
  • 1 <= nums1[i], nums2[j] <= 2000

教程:https://programmercarl.com/1035.%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E7%9A%84%E7%BA%BF.html

方法一:动态规划

思路:

五部曲:

1.定义二维数组dp[i] [j]:表示 nums1 前 i 个数和 nums2 前 j 个数能够连接的最大连线数。

2.递推公式

如果 nums1[i-1] 和 nums2[j-1] 相等,则可以连接一条新的连线,此时 dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1] + 1;否则,可以选择不连接它们,此时 dp[i] [j] = max(dp[i-1] [j], dp[i] [j-1])。

if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}

3.dp数组如何初始化

默认都是0

4.遍历循序:和1143.最长公共子序列这个一题一样,有三个方向可以推出dp[i] [j]

5.举例推导dp数组

nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]为例子

代码随想录算法训练营第53天| 1143.最长公共子序列 1035.不相交的线 53. 最大子序和 动态规划_第4张图片

复杂度分析

  • 时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
  • 空间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
public class Solution {
    public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
        int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];

        for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }

        return dp[nums1.length][nums2.length];
    }
    public static void main(String[] args) {
        Solution solution = new Solution();
        solution.maxUncrossedLines(new int[]{2,5,1,2,5},new int[]{10,5,2,1,5,2});
    }
}

53. 最大子序和

给你一个整数数组 nums ,请你找出一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1:

输入:nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出:6
解释:连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6 。

示例 2:

输入:nums = [1]
输出:1

示例 3:

输入:nums = [5,4,-1,7,8]
输出:23

提示:

  • 1 <= nums.length <= 105
  • -104 <= nums[i] <= 104

**进阶:**如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法,尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

教程:https://programmercarl.com/0053.%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%92%8C.html

方法一:贪心

思路:当总和小于0的时候,将总和重置为0,重新计算连续值。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if(nums.length == 1) return nums[0];

        int sum = Integer.MIN_VALUE;
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++){
            count += nums[i];
            sum = Math.max(sum, count); // 取区间累计的最大值(相当于不断确定最大子序终止位置)
            if (count <= 0){
                count = 0; // 相当于重置最大子序起始位置,因为遇到负数一定是拉低总和
            }
        }
        return sum;
    }
}

这题看到让人一下子想到左右指针

方法二:左右指针

思路

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(n),其中 n 是数组的长度。算法中只需遍历一次数组。
  • 空间复杂度:O(1)。算法中只使用了常数个变量。
class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int left = 0, right = 0;
        int maxSum = Integer.MIN_VALUE, sum = 0;

        while (right < nums.length) {
            sum += nums[right];
            maxSum = Math.max(maxSum, sum);
            right++;

            while (left < right && sum < 0) {
                sum -= nums[left];
                left++;
            }
        }

        return maxSum;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Solution solution = new Solution();
        int[] nums1 = {-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4};
        int[] nums2 = {1};
        int[] nums3 = {5,4,-1,7,8};

        System.out.println(solution.maxSubArray(nums1));
        System.out.println(solution.maxSubArray(nums2));
        System.out.println(solution.maxSubArray(nums3));
    }
}

方法三:动态规划

思路

五部曲

1.定义数组dp[i]:表示nums中前i个索引中最大子数组和为dp[i]

2.确定递归公式

dp[i]只有两个方向可以推出来:

  • dp[i - 1] + nums[i],即:nums[i]加入当前连续子序列和
  • nums[i],即:从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的,所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

3.数组初始化

dp[0]=nums[0]

4.遍历顺序

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态,需要从前向后遍历。

5.举个例子

以示例一为例,输入:nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],对应的dp状态如下:

代码随想录算法训练营第53天| 1143.最长公共子序列 1035.不相交的线 53. 最大子序和 动态规划_第5张图片

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)
class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length==0||nums==null) {
            return 0;
        }
        if (nums.length==1) {
            return nums[0];
        }

        int[] dp = new int[nums.length+1];
        dp[0]=nums[0];
        int maxSum = dp[0];

        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i]);
            maxSum = Math.max(maxSum, dp[i]);
        }

        return maxSum;
    }
}

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