代码随想录算法训练营第53天| 1143.最长公共子序列 1035.不相交的线 53. 最大子序和 动态规划
JAVA代码编写
1143.最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，
"ace"是"abcde"的子序列，但"aec"不是"abcde"的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。
提示：
1 <= text1.length, text2.length <= 1000text1和text2仅由小写英文字符组成。
教程：https://programmercarl.com/1143.%E6%9C%80%E9%95%BF%E5%85%AC%E5%85%B1%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97.html
方法一：动态规划
**思路：**和718. 最长重复子数组有点像，这里是字符串，之前是数组
五部曲：
1.定义二维数组dp[i] [j]:长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i] [j]
2.递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i] [j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i] [j - 1]);
if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
dp[i] [j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
3.dp数组如何初始化
默认都是0
4.遍历循序：
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i] [j]，如图：
5.举例推导dp数组
以输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace” 为例，dp状态如图：
复杂度分析：
- 时间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
- 空间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
// char[] char1 = text1.toCharArray();
// char[] char2 = text2.toCharArray();
// 可以在一開始的時候就先把text1, text2 轉成char[]，之後就不需要有這麼多爲了處理字串的調整
// 就可以和卡哥的code更一致
int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1]; // 先对dp数组做初始化操作
for (int i = 1 ; i <= text1.length() ; i++) {
char char1 = text1.charAt(i - 1);
for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
char char2 = text2.charAt(j - 1);
if (char1 == char2) { // 开始列出状态转移方程
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[text1.length()][text2.length()];
}
public static void main(String[] args) {
Solution solution = new Solution();
solution.longestCommonSubsequence("abcde","ace");
}
}
从这段代码来看，写的两个for循环，第一个循环遍历text1的索引，定义一个char类型变量char1记录text1上一个索引的字符，第一个循环遍历text2的索引，同样也定义一个char类型变量char2记录text2上一个索引的字符，如果char1与char2相等，则dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1] + 1;如果char1与char2不相等，dp[i] [j] = Math.max(dp[i - 1] [j], dp[i] [j - 1]);这里可以想象为不包含当前索引的dp值。
1035.不相交的线
在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：
nums1[i] == nums2[j]- 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
示例 1：
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出：2
解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。
但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
示例 2：
输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]
输出：3
示例 3：
输入：nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1]
输出：2
提示：
1 <= nums1.length, nums2.length <= 5001 <= nums1[i], nums2[j] <= 2000
教程：https://programmercarl.com/1035.%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E7%9A%84%E7%BA%BF.html
方法一：动态规划
思路：
五部曲：
1.定义二维数组dp[i] [j]:表示 nums1 前 i 个数和 nums2 前 j 个数能够连接的最大连线数。
2.递推公式
如果 nums1[i-1] 和 nums2[j-1] 相等，则可以连接一条新的连线，此时 dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1] + 1；否则，可以选择不连接它们，此时 dp[i] [j] = max(dp[i-1] [j], dp[i] [j-1])。
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
3.dp数组如何初始化
默认都是0
4.遍历循序：和1143.最长公共子序列这个一题一样，有三个方向可以推出dp[i] [j]
5.举例推导dp数组
以nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]为例子
复杂度分析：
- 时间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
- 空间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
public class Solution {
public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[nums1.length][nums2.length];
}
public static void main(String[] args) {
Solution solution = new Solution();
solution.maxUncrossedLines(new int[]{2,5,1,2,5},new int[]{10,5,2,1,5,2});
}
}
53. 最大子序和
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1
示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23
提示：
1 <= nums.length <= 105-104 <= nums[i] <= 104
**进阶：**如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。
教程：https://programmercarl.com/0053.%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%92%8C.html
方法一：贪心
思路：当总和小于0的时候，将总和重置为0，重新计算连续值。
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
if(nums.length == 1) return nums[0];
int sum = Integer.MIN_VALUE;
int count = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++){
count += nums[i];
sum = Math.max(sum, count); // 取区间累计的最大值（相当于不断确定最大子序终止位置）
if (count <= 0){
count = 0; // 相当于重置最大子序起始位置，因为遇到负数一定是拉低总和
}
}
return sum;
}
}
这题看到让人一下子想到左右指针
方法二：左右指针
思路：
复杂度分析：
- 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度。算法中只需遍历一次数组。
- 空间复杂度：O(1)。算法中只使用了常数个变量。
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int left = 0, right = 0;
int maxSum = Integer.MIN_VALUE, sum = 0;
while (right < nums.length) {
sum += nums[right];
maxSum = Math.max(maxSum, sum);
right++;
while (left < right && sum < 0) {
sum -= nums[left];
left++;
}
}
return maxSum;
}
public static void main(String[] args) {
Solution solution = new Solution();
int[] nums1 = {-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4};
int[] nums2 = {1};
int[] nums3 = {5,4,-1,7,8};
System.out.println(solution.maxSubArray(nums1));
System.out.println(solution.maxSubArray(nums2));
System.out.println(solution.maxSubArray(nums3));
}
}
方法三：动态规划
思路：
五部曲
1.定义数组dp[i]：表示nums中前i个索引中最大子数组和为dp[i]
2.确定递归公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
- dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
- nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
3.数组初始化
dp[0]=nums[0]
4.遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
5.举个例子
以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：
复杂度分析：
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums.length==0||nums==null) {
return 0;
}
if (nums.length==1) {
return nums[0];
}
int[] dp = new int[nums.length+1];
dp[0]=nums[0];
int maxSum = dp[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
dp[i] = Math.max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i]);
maxSum = Math.max(maxSum, dp[i]);
}
return maxSum;
}
}