运筹学经典问题（二）：最短路问题

问题描述

给定一个图（有向图或无向图）$G=(V,E)$，$V$是图中点的集合，$E$是图中边的集合，图中每条边$(i,j)\in E$都对应一个权重$c_{ij}$（距离或者运输成本等），给定一个起点$u$和一个终点$z$，最段路问题就是寻找一条从$s$出发，到达$z$的距离最短或者成本最低的路径。

数学建模

定义：
$I$：点的集合；
$out(i)$：离开点$i$边的集合；
$in(i)$：进入点$i$边的集合；
$x_e$：是否选择$e$这条边，0-1变量；
$$\begin{gathered} min\sum _{e\in E}{x}_e{c}_e \\ s.t.\sum _{e\in out(i)}{x}_e-\sum _{e\in in(i)}{x}_e=\{\begin{array}{l}1,i=u\\ -1,i=z\\ 0,else\end{array} \end{gathered}$$

上述模型优化目标为最小化路径距离，约束为进出平衡（分了3种点的类型去写约束：始发点只出不进、目的点只进不出、其他点进等于出）。

整数最优解特性

即使把变量$x_e$松弛成$0\le x_e\le 1$，原问题变成线性规划，该问题仍然存在整数最优解。

模型求解

调用求解器求解即可。

• 后面补充代码。

参考资料

1. 最短路径问题.
2. 运筹优化常用算法、模型及案例实战：Python+Java 实现. 刘兴禄，熊望祺，臧永森，段宏达，曾文佳，陈伟坚.