First集和Follow集（转）

FIRST集合和FOLLOW集合
一、First集合
定义：
First集合是对产生式右部的字符串而言的，求取的是非终结符VT（或终结符、空字符、文法符号串）的开始符号集合，集合中包含的是由左部非终结符VT推导得到的终结符VN或空字符ε。以α表示一个文法的字符串，FIRST( α ）表示由α推导出的串的首个终结符或空字符组成的集合。

规则
求文法符号X的FIRST( X ) ，直到没有终结符或空字符可以加入。
① 如果X属于终结符VT，则FIRST(X) = { X } 。
② 如果X属于非终结符VN，且有产生式形如X → a…，则FIRST( X ) = { a }。
③ 如果X属于非终结符VN，且有产生式形如X → ABCdEF…（A、B、C均属于非终结符且包含 ε，d为终结符），需要把d、FIRST( A )、FIRST( B )、FIRST( C )加入到FIRST( X)中。
④ 如果X经过一步或多步推导出空字符ε，将ε加入FIRST( X )。

一组文法符号串
由规则可知单个文法字符的FIRST集，那么一组文法字符串的FIRST集也可以求取了。假设文法符号串S由X1X2X3……Xn组成，则将每个文法符号Xi的FIRST集加入到FIRST( S )中，包括空字符ε。

举例1
设有文法G[A]： 
   A→BCc | gDB      
   B→bCDE | ε     
   C→DaB | ca      
   D→dD | ε      
   E→gAf | c 
解：
FIRST( A ) = FIRST( BCc ) ∪ FIRST( gDB ）
=FIRST( B )∪FIRST( C )∪{ c }∪{ g }
由规则③规则②可知
FIRST( A ) =FIRST( B )∪FIRST( D )∪{ a }∪{ c }∪{ c }∪{ g }
={ b，ε }∪{ d，ε }∪{ a }∪{ c }∪{ g }
={ a，b，c，d，g ，ε }
FIRST( B ) = { b，ε }
FIRST( C ) = FIRST( D )∪{ a }∪{ c }= { a，c，d，ε }
FIRST( D ) = { d，ε }
FIRST( E ) = { g，c }
对于A来说：有两种选择 BCc 与 gDB，BCc用规则③，gDB用规则②。
对于B来说：有两种选择 bCDE 与 ε，均用规则②。
对于C来说：有两种选择 DaB 与 ca，由于D存在空字符，所以 DaB用规则③，ca用规则②。
对于D来说：有两种选择dD 与 ε ，分别用规则②与规则④。
对于E来说：有两种选择gAf 与 c ，均用规则②。

举例2
设有文法G[S]:
   S→aBS | bAS | ε
   A→bAA | a
   B→aBB | b
解：
FIRST( S ) = FIRST( aBS )∪FIRST( bAS )∪{ ε }={ a，b，ε }
FIRST( A ) = { a，b }
FIRST( B ) = { a，b }
对于S来说：有三种选择 aBS与bAS、ε，分别用②与规则④。
对于A来说：有两种选择bAA与 a，均用规则②。
对于B来说：有两种选择aBB与 b，均用规则②。

二、Follow集合
定义：
Follow集合是对某个非终结符而言的，求取的是非终结符VT的后继符号集合，集合中包含的是由非终结符VT后面紧跟的终结符VN和结束符$，不能出现空字符ε 。以X表示一个非终结符，FOLLOW( X ）表示当X通过规约出现时，接下来的输入可能是哪些终结符。

规则
求非终结符X的FOLLOW( X ) ，直到没有终结符可以加入。
① 如果X是开始符号，则将$加入到FOLLOW(X)中 。
② 如果存在一个产生式S->αXβ，那么将集合FIRST(β)中除ε外的所有元素加入到FOLLOW(X)当中。
③如果存在一个产生式 S->αX , 或者S->αXβ且FIRST(β)中包含ε , 那么将集合FOLLOW(S)中的所有元素加入到集合FOLLOW(X)中。

举例1
设有文法G[A]： 
   A→BCc | gDB      
   B→bCDE | ε     
   C→DaB | ca      
   D→dD | ε      
   E→gAf | c 
解：
FOLLOW( A ) ={ f ， }∪{ c，d，g， }
FOLLOW( C ) = { c }∪FIRST( D )∪FIRST( E )
             ={ c }∪{ d }∪{ g，c }
             ={ c，d，g }
FOLLOW( D ) = FIRST( B )∪FOLLOW(A )∪FIRST( E )∪{ a }
             ={ b } ∪{ g，c }∪{ f ， }
FOLLOW( E ) = FOLLOW( B )
             ={ a，c，d，f，g，；E→gAf，规则②将f加入FOLLOW( A )。
对于B的出现来说：有 A→BCc，规则②将FIRST( C )除ε以外加入进去；有A→gDB，规则③将FOLLOW( A )加入进去；有C→DaB，规则③将FOLLOW( C )加入进去。
对于C的出现来说：有 A→BCc，规则②将c加入进去；有B→bCDE，规则③将FOLLOW( D )加入进去，由于D存在空字符ε，所以需要把FIRST( E )除ε以外也加入进去。
对于D的出现来说：有A→gDB，规则②将FIRST( B )除ε以外加入进去，由于B存在空字符ε，所以规则③将FOLLOW( A )加入进去；有B→bCDE，规则②将FIRST( E )除ε以外加入进去；有C→DaB，规则②将a加入进去。
对于E的出现来说：有B→bCDE，规则③将FOLLOW( B )加入进去。

举例2
设有文法G[S]:
   S→aBS | bAS | ε
   A→bAA | a
   B→aBB | b
解：
FOLLOW( S ) = { }∪{ a，b }
             ={ a，b， }∪{ a，b }
             ={ a，b，加入进去。
对于A的出现来说：有S→bAS，规则②将FIRST( S )除ε以外加入进去,由于S存在空字符ε，规则③将FOLLOW( S )加入进去；有A→bAA，规则②将FIRST( A )除ε以外加入进去。
对于B的出现来说：有S→aBS，规则②将FIRST( S )除ε以外加入进去,由于S存在空字符ε，规则③将FOLLOW( S )加入进去；有B→aBB，规则②将FIRST( B )除ε以外加入进去。

第三部分·如何构造LL(1)分析表
首先画出表格，表格的左列是每一个产生式的左部（不重复），表格的横行是每一个终结符号。
接着逐个考察所有产生式。
抽象算法：
对于G中的每一个产生式， A -> α ,执行以下2步：

1.for ∀ a ∈ FIRST(α)， 将 A -> α 填入 M [A, a ];

//对逐个产生式进行考察，考察产生式的FIRST集合的元素，在找到的元素的对应表格中填写该产生式

2. if（ε ∈ FIRST(α)）

     ∀ a ∈ FOLLOW (A) ， 将 A -> ε 填入 M [A, a ];
   

//如果发现产生式的FIRST集中包含空符号，就查找该产生式头部的FOLLOW集合中的元素，在元素的对应表格中填写空产生式

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原文：https://blog.csdn.net/Cielyic/article/details/82941014