2021-08-01-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（二） P057 例1）
若,证明不定方程没有整数解.
证明
若有整数解,则模9也有整数解.熟知,一完全立方模同余于之一,因而.但,所以模9无解,这与前面所说的相违,故方程无整数解.
2021-08-01-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（二） P057 例2）
确定方程的全部非负整数解(不计解的排列次序).
解
模就能够证明方程无整数解,因为整数的四次幂模同余于或,故模的所有可能值是,唯独不能取.但,因此方程无解,证毕.
2021-08-01-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（二） P057 例3）
证明:下列数不能表示为若干个连续整数的立方和.
(1);
(2).
证明
利用
易知,连续若干个整数的立方和可表示为形式
,(*)
为整数.我们要证明,对于(1)、(2)中的整数,不存在使之可表示为(*)的形式.用分解方法虽也能解决问题,但相当麻烦;用同余论证,则相当直接.
首先,按整数模分类并逐一检验,不难得知,模同余于及,因此,形如(*)的数模只能是.另一方面,由欧拉定理知
,
这就证明了不能表示为(*)的形式.
然而,因,故对于数,模不能解决问题.
我们这次模.易于验证,对整数,数模同余于.故形如(*)的数模只能是.但
因此我们的断言成立.
2021-08-01-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（二） P058 例4）
求所有这样的的幂,将其(十进制表示中的)首位删去后,剩下的数仍是一个的幂.
解
问题即要求出方程
(1)
的全部正整数解,其中.将(1)变形为
.(2)
首先证明.因为若,则(2)式右边被整除,从而.又易知,模的阶是(这只需注意所说的阶整除,及),因此,整除,从而整除(2)的左边,但有因子,而不整除(1)的右边,矛盾!
因此.现在只需在为二位数的的幂中,检验符合要求的解,易知这只有和.
求所有正整数,使得
.(1)
解
关键一步是证明当时必有.因为(1)的左边被整除,故,从而,于是(1)的右边被整除.另一方面,
被整除,但不被整除;而对有.所以,当时,(1)的左边被整除而不能被整除,从而(1)的右边也如此,即必须.
现在进一步证明,当时方程(1)无解.模:当时,(1)的左边;又已证明了此时有,故(2)的右边,从而上述断言成立.
最后,当时,不难通过检验求得(1)的解是,.
2021-08-01-06
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 不定方程（二） P059 例6）
证明,不定方程
(*)
没有正整数解证明为了后面的论证,我们先从方程(1)导出一些简单的结论.
显然.此外,必是奇数,否则将(1)模则产生矛盾.进一步,也是奇数,因为若,则x为一个奇数的平方,从而(1)的右边,但其左边,这不可能.故.
设,其中为奇数(因为奇数).将方程(1)改写为
.(2)
(2)的左边有因子,故整除(2)的左边.但另一方面,由于为偶数,用二项式定理易得
.
因,故(2)的右边,矛盾!