黎曼与多值函数
1850年左右，函数论的一段高速发展时期告终了，严密的方法（魏尔斯特拉斯提供的）、准确描写的结果和无可质疑的存在性证明标志着发展到了重要的最后阶段。发展的先行时期充满着自由、繁多、不连贯常常是偶然的发现和无秩序的创造，就像阿贝尔定理。在代数函数及其积分、反函数的理论中，一个新的发明时期属于黎曼，他提供了宽广得多的理论，即多值函数的处理，在这方面只有柯西和皮瑟做过研究，他们为几个进展铺平了道路。
黎曼(1826-1866)是高斯和韦伯（磁通量那个）的学生，1846年到哥廷根学神学，不久后转学数学，1851年在高斯直到下完成博士论文《单复变函数一般理论的基础》，是复函数论的重要论文。三年后他为了成为哥廷根的私教员，写了大学讲师就职论文《关于利用三角函数表示一个函数的可能性》以及就职演讲《关于几何基础的假设》，1859年黎曼接替狄利克雷成为哥廷根数学教授，40岁时死于肺病。（哇，这几节都英年早逝，阿贝尔27，雅可比46）
黎曼常被认为是纯粹数学家，实际上他深深关心物理以及数学物理的关系，他研究了热、光、气体理论、磁、流体力学以及声学方面的论文，他企图统一引力和光，并研究了人耳结构。他关于几何基础的工作（黎曼几何）试图找出绝对可靠的物理空间知识。他说研究物理定律是主要兴趣。作为数学家，他自由地运用几何直观和物理论证。基于克莱因 (Felix Klein，克莱因瓶那个)给出的证据，黎曼的复函数思想可能来自于他对平面电流流动的研究，电流的核心是位势方程，而黎曼对复函数的探讨也是这样。
在黎曼对多值函数的探讨中，关键思想是黎曼面的概念，函数w^2=z是多值的，事实上对z的每个值都有两个w值，为了研究函数并保持两个集（根号z和-根号z）分开，黎曼给每个分支引入一个z值平面，他还附带在每一平面上引入一个点对应z=∞，这两个平面被看作一个在另一个上方，在两个分支给出相同w值的那些z值上连接，即w^2=z的两个平面（或称为叶）在z=0和z=∞处连接起来。
只考虑上叶z值时，理解为计算w=根号z，可是z沿着该叶围绕原点的圆变动，z=ρ(cosθ+isinθ)中的θ由0变到2π时，根号z只覆盖映入w值的复平面上的半圆，现在让z变动到下叶，θ从2π到4π时得到w2=-根号z的取值范围，当z又一次穿过正x轴时又回到了上叶，这样经过z值绕原点的两个环（每叶各一次）得到函数w^2=z中w值的全部范围。另外本质来说如果z在黎曼面（它是两叶的集合）上变动，w就变为z的一个单值函数。
为了区别两叶上的路径，在w^2=z下把正x轴看成分支切割线，它连接z=0和z=∞，当z穿过分割线时，必须取属于z进入的那一叶的分支。分支切割不一定是正x轴，但在这种情况下需要连接z=0和∞，点0和∞也称为支点，当z绕着0和∞划出一个闭路径时，两分支互相交换。
对函数w^2=z^3-z也有两分支，它们在z=0,1,-1,∞处相等，这四点都是支点，z绕着其中一点环行时w的值从一个分支变到另一个分支，分支切割可以取0到1，0到-1，1到∞，-1到∞的线段。对更复杂的多值函数，黎曼面更为复杂，一个n值函数需要n叶黎曼面，可能有多个支点，必须引进连接每两个支点的分支切割。另外一个支点的各叶和另一个支点的各叶不一定相同，如果k叶重合于一个支点，称该支点为k-1阶的。黎曼面的两叶可以在一点接触，但当z绕这点走完一周后，没变到另一分支，那么该点不是支点。
三维空间不能准确表示黎曼面，如w^2=z的两叶在三维空间中沿正x轴相交，但数学上要求从第一叶光滑进入第二叶，绕z=0环行后回到第一叶。黎曼面不仅能描绘多值函数，而且能使多值函数在曲面上单值，与z平面情形对立。这样关于单值函数的定理可以推广到多值函数，如单值函数沿一个区域（在其中函数为解析）的边界曲线积分为0的柯西定理，被黎曼推广到多值函数。解析区域在曲面必须是单连通的（可以收缩到一点的）。
黎曼把曲面想象为平面的一个n叶复制品，每个复制品被补充一个无穷远点，但这种设想很难理解有关论证，因此数学家曾提出一些较易想象的等价模型。利用球平面射影可以把一个平面变换成一个球面，因此可以利用n个半径近似的同心球面构造黎曼面的一个模型，球面序列和平面序列相同，平面的支点与分支切割变换到球面上，这些球面沿分支切割互相缠绕，把这组球面想象为z的域，而z的多值函数w在这组球叶上是单值的。
以上说明黎曼思想是从函数f(w,z)=0出发，指出什么是黎曼面，但黎曼的做法是从一个黎曼面出发，提议证明有一个属于它的方程f(w,z)=0，进一步证明有其它单值及多值函数定义在这个黎曼面上。
单值解析函数f(z)=u+iv的黎曼定义是：这个函数在一点及其邻域内解析，如果连续可微并满足柯西-黎曼方程，这种方程曾经出现在达朗贝尔、欧拉、柯西的著作中，黎曼首次要求导数dw/dz存在性是指Δw/Δz的极限必须对z+Δz趋近于z的每一途径都相同（这个条件区分出了复函数，在实函数u(x,y)下u的一阶导各个方向都存在极限不能保证解析），显然u和v要满足二维位势方程。他认为u满足位势方程，复函数就可以在其存在区域整个被确定。他明确假定，黎曼面上的位置函数w将由实函数u(x,y)确定，如果u满足：1、在曲面上所有使导数不为无穷的点处满足位势方程；2、如果u多值，它在曲面任一点上的值彼此相差一些实常数整数倍的线性组合（实常数是w周期模的实部）；3、u可以在曲面指定点上有给定形式的无穷（极点），这些无穷应属于使w为无穷的那些项的实部。他进一步假定沿曲面一部分的边界闭曲线，u可以有有穷值，或者u和v的边界值存在一个关系，但他没明确这个关系的一般性程度。
一旦确定u就能有，进而确定w，对黎曼来说，u的域是黎曼面的任何一个部分，可能是整个曲面，他在博士论文中考虑了有边界的曲面，后来才用了无边界的闭曲面，如环面。
为了确定u，他用了从狄利克雷学到的原理，并推广到黎曼面上的区域，在域中规定了u的奇异性何跳跃（条件2、3），狄利克雷原理是说，最小化狄利克雷积分的函数u满足位势方程（即狄利克雷积分第一变分为零的必要条件），因为在该积分中被积函数为正，有一个大于等于0的下界，因此函数u必存在，可以保证函数f(z)存在。
以给定黎曼面为值域的函数的存在性确定后，证明曲面可以联系一个基本方程f(w,z)=0，但黎曼未叙述该曲面如何相应于w与z之间的关系，这个f(w,z)=0可能不是唯一的，每个有理函数w1通过f(w,z)=0可以得到另一个方程f1(w1,z)=0，如果不可约，说明有同一个黎曼面。
为了进一步研究能在一个黎曼面上存在的函数类型，必须熟悉黎曼面的连通性概念，黎曼面可能有边界曲线，可能是球或闭环。如果是代数函数的黎曼面(f(w,z)=0定义w为z的函数，f是w,z的多项式)，那么曲面是闭的。如果f是不可约的（不能表示为多项式乘积），那么曲面是连通的一片。任意一条闭曲线把曲面分成两部分，从一部分到另一部分必须穿过闭曲线，则称曲面为单连通的，如果在曲面上画闭曲线而不使曲面分离，则曲面不是单连通的，而如果能在曲面上画某种闭曲线，而不使曲面不连通，则曲面是多连通的，如环面上画两条不同闭曲线，曲面仍连通。
黎曼想指定一个数表示曲面连通性，他设想的是代数函数（闭曲面），把极点与支点看作曲面的部分，去掉一叶的一部分，这个曲面有了边界曲线C，他想象曲面被不自交的曲线割开，从边界C的一点跑到边界C的另一点，曲线称为横剖线，横剖线和C被看作新的边界，还可以在新边界上引入不穿过新边界的第二条横剖线。引进足够多的横剖线将黎曼面剖为一个单连通曲面，如果曲面是单连通，则不需要横剖线，曲面连通数为1，类似地，双连通曲面可以用一条横剖线变为单连通曲面，连通数为2，如平面环和有两个洞的曲面。一般曲面N连通（连通数为N）,N-1条适当的横剖线可以把它变为单连通曲面，有N个洞的球面连通数为N.
黎曼面每个支点ri是按在这点互换的分支个数计算的，如果个数是wi,i=1,2,...,r,那么ri的重数是wi-1，假定曲面有q叶，连通数N=Σwi-2q+3，可证明有单一边界的闭曲面的连通数N是2p+1.即2p=Σwi-2q+3，黎曼建立了联系：整数p为黎曼面和f(w,z)=0的亏格。特殊情形：
有一个两叶的黎曼面，n个有穷支点，n为奇数时z=∞是一个支点，于是Σwi=n或n+1，2q=4，亏格p
由f(w,z)=0确定的黎曼面，w是黎曼面上点的单值函数，w和z每个有理函数也是曲面上位置的单值函数，这个有理函数的支点不是它的极点，但和f的支点相同。反过来可以证明具有有穷阶极点的曲面上位置的每个单值函数，都是w和z的有理函数。即使是定义在通常平面上的简单单值函数，其积分也可以是多值的。
同样，黎曼面上的单值函数，其积分可能是多值的，如果引进横剖线使曲面成为单连通的，每当积分路径穿过横剖线一次，积分的基本值U上就加一个常数值I，U是曲面一个单连通部分的一个路径上积分的值，如果路径在同一个方向穿过横剖线m次，要加mI,常数I称为周期模，每一横剖线引入它的周期模。如果曲面连通数是N+1，就有N个线性无关的周期模，设它们是I1,I2,..,In，那么原单值函数沿原路径的积分值是