《算法导论》第三章 3.2（参考答案）

3.2 标准记号与常用函数

3.2-1

证明：若 和 是单调递增的函数，则函数 和 也是单调递增的；此外，若 和 是非负的，则 是单调递增的。

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若 单调递增，即对任意的 都有 。故有：

1. ；

   ；

即函数 和 也是单调递增的。

2. 若 和 是非负的，则 ；

故 是单调递增的。

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3.2-2

证明等式（3.16）：。

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乘法交换律，得

又有 ，得

又对数函数为严格递增函数，故

或：

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3.2-3

证明等式（3.19）：。并证明 且 。

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1. 根据斯特林近似公式：

   ​

   ​

   故，。

2. 故，，使得对所有的 ，有 ，故 。

3. 故，，使得对所有的 ，有 ，故 。

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3.2-4*

函数 多项式有界吗？函数 多项式有界吗？

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多项式有界，即随着 增大，一直满足：

两边同时取对数：

也就是若 ，则函数 多项式有界。

对于 ，有：，故函数 不是多项式有界的。

对于 ，有：

​

​ 其中，

故函数 是多项式有界的。

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3.2-5*

如下两个函数中，哪一个渐进更大些： 还是 ？

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设 。

又 ，故 渐进更大一些。

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3.2-6

证明：黄金分割率 极其共轭数 都满足方程 。

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3.2-7

用归纳法证明：第 个斐波那契数满足等式 ，其中 是黄金分割率且 是其共轭数。

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当 时：

​

​

另可证：

​

​

假设 时，满足等式。则：

​

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3.2-8

证明： 蕴含着 。

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由对称性： 当且仅当 ，得：

​

​

两者相除，有：

​

又由对称性，得：。