数据结构-05-跳表SkipList

1-什么是跳表

       跳表SkipList是一种随机化的数据结构，基于并联的链表，实现简单，插入、删除、查找的复杂度均为 O(logN)（大多数情况下，因为是实现上是概率问题），因为其性能匹敌红黑树且实现较为简单，因此在很多著名项目都用 SkipList 来代替红黑树，例如Redis中的有序集合zset 的底层存储结构就是用的skiplist。
        跳跃列表由 William Pugh 发明。他在 Communications of the ACM发表了《Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees》，在其中详细描述了他的工作。

假设原始链表的数据如下：链表中存储的数据是有序的。

       我们知道这种链表结构查询数据的时间复杂度是O(n)。但是如果我们对链表建立"索引"，把节点数据提取出来放在上一级（索引层），这样是不是就可以提高查询效率了呢？比如我们查找元素83；如果按照原始链表，要查询8个节点，采用下面这个结构，只需要查询5个节点。如果数据量越大，优势就更加明显。

这种链表加多级索引的结构，就是跳表。

2-跳表的查询

        我们知道，在一个单链表中查询某个数据的时间复杂度是O(n)。那么跳表的时间复杂度是多少呢？
      假设每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是n/2，第二级索引的结点个数大约就是n/4，第三级索引的结点个数大约就是n/8，依次类推，也就是说，第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2，那第k级索引结点的个数就是n/(2^k)。
       假设最高级索引有两个节点，最高级索引是k，总节点数是n，那么n/(2^k)=2，k=logn -1(以2为底的对数)。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是logn。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O(m*logn)。一般m是常数，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是O(logn)。这个时间复杂度是不是跟二分查找一样，很高效了。但是这种效率的提升，是以空间换时间的理念来实现的。

       假设我们每两个节点抽取一个，需要多使用n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。跳表的空间复杂度是O(n)。也就是说，如果将包含n个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近n个结点的存储空间。假设我们每3个节点抽取一个，总的索引结点大约就是n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2，空间复杂度还是O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。

        其实我们不必太在意索引占用的额外空间，因为实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。

3-跳表的插入-删除-索引的动态更新

       插入：在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是O(1)。但是，这里为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时O(n)。但是，对于跳表来说，我们讲过查找某个结点的的时间复杂度是O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是O(logn)。

       删除：如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。

       索引动态更新：当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某2个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降。
       当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。如何选择加入哪些索引层呢？我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值K，那我们就将这个结点添加到第一级到第K级这K级索引中。随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。

4-redis跳表使用

       Redis中的有序集合zset 的底层存储结构就是用的skiplist，为何不使用红黑树等平衡树？主要原因有以下几点：

1-高效的查找操作：跳表通过建立多层索引，可以在有序集合中实现快速的查找操作。相比于传统的平衡树结构（如红黑树），跳表的查找操作具有更低的时间复杂度，平均情况下为O(log n)。
2-简单且易于实现：相对于其他复杂的数据结构（如红黑树或AVL树），跳表的实现相对简单且容易理解。它没有复杂的平衡调整操作，只需通过维护索引层来保持有序性和高效性。
3-空间效率较高：跳表通过层级结构来建立索引，每个节点只需额外存储少量的指针信息。相比于一些平衡树结构，跳表在空间使用上通常更加高效。
       还有一个业务功能原因：对于按照区间查找数据ZRANGE这个操作，跳表可以做到O(logn)的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效。