微积分总结（数列与无穷级数）
微积分总结（数列与无穷级数）
本章节讲的是数列的极限和判断他的敛散性。
第一步我们先了解一下数列的极限是什么
数列的极限
我们有数列 a n a_n an和它的前n项和 S n S_n Sn
如果部分和 S n S_n Sn有一个极限L，那么这个无穷级数收敛（converges）到这个极限。有如下式子：
∑ k = 1 ∞ a k = lim n → ∞ ∑ k = 1 n a k = lim n → ∞ S n = L \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to\infty} \sum_{k = 1}^{n}a_k=\lim_{n\to\infty}S_n=L k=1∑∞ak=n→∞limk=1∑nak=n→∞limSn=L
如果这个极限不存在，那么这个级数就会发散（diverges）。
很明显，意思就是如果有数列 a n a_n an和 S n S_n Sn那么上面的几项就是等价的。
数列
数列的极限和函数的极限
假设有一个函数 f ( n ) = a f(n) = a f(n)=a而且其中每一项都是正的，如果有 lim x → ∞ f ( x ) = L \lim_{x \to \infty}f(x)=L limx→∞f(x)=L,那么数列{ a n a_n an}的极限也是L。
几何级数
如果r和a都是实数，有
这样就是当r小于等于-1或者大于1时发散
反之当r大于-1且小于1时收敛
可能用图像表达会更直观一些
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然后就是一个很重要的概念
数列的增长率
比如我们在比较一些极限都是零的数列时，我们就要从他们的增长率入手。
换成官方的话就是
如果在n → ∞ \to\infty →∞时有 a n a_n an和 b n b_n bn都是趋向于无穷的，
那么我们如何去求 lim n → ∞ b n a n \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n} limn→∞anbn?
然后我们在很多的运算后得出以下常见数列的增长率的先后顺序
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无穷级数
在上一次简单讲明几何数组的一个收敛和发散的判断方法，这里我们会有一个进阶版的，
几何级数（实际就是高中的等比数列）
如果 a ≠ 0 a \neq 0 a=0而且r是一个实数。有|r|<1,那么有 ∑ k = 0 ∞ = a 1 − r \sum_{k = 0}^{\infty} = \frac{a}{1-r} ∑k=0∞=1−ra，而如果|r| ≤ \le ≤ 1,那么关于它的敛散性就会有如下的表示。
其中关于中间的推导有
∑ k = 0 ∞ a r k = lim n → ∞ ∑ k = 0 n − 1 a r k = lim n → ∞ a 1 − r n 1 − r \sum_{k = 0}^{\infty}ar^k = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 0}^{n-1}ar^k=\lim_{n\to\infty}a\frac{1-r^n}{1-r} k=0∑∞ark=n→∞limk=0∑n−1ark=n→∞lima1−r1−rn
因为r是小于1大于-1的，所以就会有 r n r^n rn的值为0
如此，我们再正式进入我们的敛散性。
发散和积分判别法
这是我们的一个重头戏了
它的名字叫发散判别法
| 条件 | 结果 |
|---|---|
| 如果 ∑ a k \sum a_k ∑ak收敛 | lim k → ∞ a k = 0 \lim_{k\to\infty}a_k=0 limk→∞ak=0 |
| 如果 lim k → ∞ a k ≠ 0 \lim_{k\to\infty}a_k\neq0 limk→∞ak=0 | 这个级数发散 |
注意他们的因果关系。
有级数收敛，他们极限一定定于0
如果级数的极限不等于0，那么他一定发散。
也就是说如果你想要做判断，只有再它的极限不等于0的时候可以判断它是发散的。
但是如果他的极限不等于0，那么就无法判断，因为极限不等于0的话也可能是发散的级数。
调和级数
形如
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . . . . \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...... k=1∑∞k1=1+21+31+41+......
就是调和级数，调和级数总是发散的
积分判别法
使用积分判别法判定敛散性需要满足几个重要的条件
-
所给的式子容易被积分
-
递减的
-
连续的
-
正项的
也就是对于 a k = f ( k ) a_k=f(k) ak=f(k),有k=1，2，3，4…有
∑ k = 1 ∞ a k a n d ∫ 1 ∞ f ( x ) d x \sum_{k=1}^{\infty}a_k \;\;\;\;\; and\;\;\;\;\;\;\int_{1}^{\infty}f(x)dx k=1∑∞akand∫1∞f(x)dx
的敛散性是一致的。
但需要注意的是，再收敛的情况下，积分的值一般不等于级数的值。
p级数
形如
∑ k = 1 ∞ 1 k p \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p} k=1∑∞kp1
| 敛散性 | p的值 |
|---|---|
| 收敛 | p>1 |
| 发散 | p ≤ \le ≤ 1 |
级数的估计值
这里首先引入一个余项的概念
R n = ∑ k = 1 ∞ a k − ∑ k = 1 n a k R_n=\sum_{k=1}^{\infty}a_k-\sum_{k=1}^{n}a_k Rn=k=1∑∞ak−k=1∑nak
也就是余项 R n R_n Rn是级数 S n S_n Sn的第n项一直到最后的值的和。
这里我们用积分去确定余项的范围
∫ n + 1 ∞ f ( x ) d x ≤ R n \int_{n+1}^{\infty}f(x)dx \le R_n ∫n+1∞f(x)dx≤Rn
R n ≤ ∫ n ∞ f ( x ) d x R_n\le \int_{n}^{\infty}f(x)dx Rn≤∫n∞f(x)dx
所以这样就得出了结论
∫ n + 1 ∞ f ( x ) d x ≤ R n ≤ ∫ n ∞ f ( x ) d x \int_{n+1}^{\infty}f(x)dx\le R_n \le\int_{n}^{\infty}f(x)dx ∫n+1∞f(x)dx≤Rn≤∫n∞f(x)dx
起始开始我看图也没有理解这个公式，但是在反复几次观察后还是理解了，因为余项是从n开始的级数，毫无疑问的是，它肯定大于n+1项的级数和小于n-1项的级数和，但是得出这样的结论并没有意义，所以我们拿积分去继续缩小余项的一个范围。
首先要知道的是，无论是图1还是图2，这个级数的形状，大小都是不变的。
所以下标的n或者n+1都是针对于积分来说的，于是在级数图形开始时n或者n+1都是没有影响大，所以就会有图上的大小对比的图形，
我们都知道
S = ∑ k = 1 ∞ a k = ∑ k = 1 n + R n S = \sum_{k=1}^{\infty}a_k=\sum_{k=1}^{n}+R_n S=k=1∑∞ak=k=1∑n+Rn
这时候我们把不等式的每一个项都加上 ∑ k = 1 ∞ a k \sum_{k=1}^{\infty}a_k ∑k=1∞ak会得到
ps：我其实也不知道推到这个的应用是什么，可能是刚开始学习吧，整个理解的也不是很清晰，反正就是这样大概。
比率，根值和比较判别法
比值判别法
如果 ∑ a k \sum a_k ∑ak是正数项的无穷级数，那么有 r = lim k → ∞ a k = 1 a k r=\lim_{k\to \infty}\frac{a_{k=1}}{a_k} r=limk→∞akak=1
-
如果0 ≤ \le ≤r<1,这个级数收敛
-
r>1(包含了r等于无穷的情况)，那么这个级数发散。
-
如果r =1，这个级数无法判定
根式判别法
如果 ∑ a k \sum a_k ∑ak是一个都是非负向的无穷级数，那么就有 ρ = lim k → ∞ a k k \rho =\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k} ρ=limk→∞kak
- 如果0 ≤ ρ \le \rho ≤ρ<1,这个级数收敛
- 如果 ρ \rho ρ>1(包括 ρ \rho ρ为无穷的情况)，那么这个级数发散
- 如果 ρ \rho ρ=1，那么这个级数无法判断
比较判别法
如果 ∑ a k \sum a_k ∑ak和 ∑ b k \sum b_k ∑bk是带正数项的级数
-
如果0< a k ≤ b k a_k\le b_k ak≤bk,而且 ∑ b k \sum b_k ∑bk收敛的话，那么 a k a_k ak收敛
-
如果0< b k ≤ a k b_k \le a_k bk≤ak,而且 ∑ b k \sum b_k ∑bk发散的话，那么 ∑ a k \sum a_k ∑ak发散
此外，比较判别法还有它的一个极限形式
比较判别法的极限形式
如果 ∑ a k \sum a_k ∑ak和 ∑ b k \sum b_k ∑bk是带正数项的级数
lim k → ∞ a k b k = L \lim_{k\to \infty}\frac{a_k}{b_k}=L k→∞limbkak=L
- 如果0
- 如果L=0,而且 ∑ b k \sum b_k ∑bk收敛，那么 ∑ a k \sum a_k ∑ak收敛
- 如果L = ∞ \infty ∞,而且 ∑ b k \sum b_k ∑bk发散，那么 ∑ a k \sum a_k ∑ak发散
交错级数
交错级数判定法
形如有收敛的交错级数 ∑ ( − 1 ) k + 1 a k \sum (-1)^{k+1}a_k ∑(−1)k+1ak
-
级数的项是非增的（或者是在某一个有限项以后是非增的）
-
lim k → ∞ a k = 0 \lim_{k \to \infty}a_k=0 limk→∞ak=0
交错调和级数
交错调和级数总数收敛的，形如
∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 5 + . . . . . . \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...... k=1∑∞k(−1)k+1=1−21+31−51+......
交错级数的余项
R n = ∣ S − S n ∣ R_n=|S-S_n| Rn=∣S−Sn∣
绝对收敛和条件收敛
∑ a k \sum a_k ∑ak本身收敛，这就是绝对收敛
此级数的绝对值收敛，那就是条件收敛
www很重要的
| 条件 | 结果 |
|---|---|
| ∑ a k \sum a_k ∑ak的绝对值收敛 | ∑ a k \sum a_k ∑ak 收敛 |
| ∑ a k \sum a_k ∑ak发散 | ∑ a k \sum a_k ∑ak 的绝对值发散 |
ps：
经常的我们会经常用交错级数判别法来判断上表判断不了的情况。