微积分总结(数列与无穷级数)

微积分总结(数列与无穷级数)

 

本章节讲的是数列的极限和判断他的敛散性。

第一步我们先了解一下数列的极限是什么

数列的极限

我们有数列 a n a_n an和它的前n项和 S n S_n Sn

如果部分和 S n S_n Sn有一个极限L,那么这个无穷级数收敛(converges)到这个极限。有如下式子:
∑ k = 1 ∞ a k = lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 1 n a k = lim ⁡ n → ∞ S n = L \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to\infty} \sum_{k = 1}^{n}a_k=\lim_{n\to\infty}S_n=L k=1ak=nlimk=1nak=nlimSn=L
如果这个极限不存在,那么这个级数就会发散(diverges)。

很明显,意思就是如果有数列 a n a_n an S n S_n Sn那么上面的几项就是等价的。

 

数列
数列的极限和函数的极限

假设有一个函数 f ( n ) = a f(n) = a f(n)=a而且其中每一项都是正的,如果有 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = L \lim_{x \to \infty}f(x)=L limxf(x)=L,那么数列{ a n a_n an}的极限也是L。

 

几何级数

如果r和a都是实数,有
在这里插入图片描述

这样就是当r小于等于-1或者大于1时发散

反之当r大于-1且小于1时收敛

可能用图像表达会更直观一些

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然后就是一个很重要的概念

数列的增长率

比如我们在比较一些极限都是零的数列时,我们就要从他们的增长率入手。

换成官方的话就是

如果在n → ∞ \to\infty 时有 a n a_n an b n b_n bn都是趋向于无穷的,

那么我们如何去求 lim ⁡ n → ∞ b n a n \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n} limnanbn?

然后我们在很多的运算后得出以下常见数列的增长率的先后顺序

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无穷级数

在上一次简单讲明几何数组的一个收敛和发散的判断方法,这里我们会有一个进阶版的,

几何级数(实际就是高中的等比数列)

如果 a ≠ 0 a \neq 0 a=0而且r是一个实数。有|r|<1,那么有 ∑ k = 0 ∞ = a 1 − r \sum_{k = 0}^{\infty} = \frac{a}{1-r} k=0=1ra,而如果|r| ≤ \le 1,那么关于它的敛散性就会有如下的表示。

微积分总结(数列与无穷级数)_第1张图片

其中关于中间的推导有
∑ k = 0 ∞ a r k = lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 0 n − 1 a r k = lim ⁡ n → ∞ a 1 − r n 1 − r \sum_{k = 0}^{\infty}ar^k = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 0}^{n-1}ar^k=\lim_{n\to\infty}a\frac{1-r^n}{1-r} k=0ark=nlimk=0n1ark=nlima1r1rn
因为r是小于1大于-1的,所以就会有 r n r^n rn的值为0

 

如此,我们再正式进入我们的敛散性。

发散和积分判别法

这是我们的一个重头戏了

它的名字叫发散判别法

条件 结果
如果 ∑ a k \sum a_k ak收敛 lim ⁡ k → ∞ a k = 0 \lim_{k\to\infty}a_k=0 limkak=0
如果 lim ⁡ k → ∞ a k ≠ 0 \lim_{k\to\infty}a_k\neq0 limkak=0 这个级数发散

注意他们的因果关系。

有级数收敛,他们极限一定定于0

如果级数的极限不等于0,那么他一定发散。

 

也就是说如果你想要做判断,只有再它的极限不等于0的时候可以判断它是发散的。

但是如果他的极限不等于0,那么就无法判断,因为极限不等于0的话也可能是发散的级数。

 

 

调和级数

形如
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . . . . \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...... k=1k1=1+21+31+41+......
就是调和级数,调和级数总是发散

 

 

积分判别法

使用积分判别法判定敛散性需要满足几个重要的条件

  1. 所给的式子容易被积分

  2. 递减的

  3. 连续的

  4. 正项的

也就是对于 a k = f ( k ) a_k=f(k) ak=f(k),有k=1,2,3,4…有
∑ k = 1 ∞ a k            a n d              ∫ 1 ∞ f ( x ) d x \sum_{k=1}^{\infty}a_k \;\;\;\;\; and\;\;\;\;\;\;\int_{1}^{\infty}f(x)dx k=1akand1f(x)dx
的敛散性是一致的。

但需要注意的是,再收敛的情况下,积分的值一般不等于级数的值。

 

 

微积分总结(数列与无穷级数)_第2张图片

p级数

形如
∑ k = 1 ∞ 1 k p \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p} k=1kp1

敛散性 p的值
收敛 p>1
发散 p ≤ \le 1

 

 

级数的估计值

这里首先引入一个余项的概念
R n = ∑ k = 1 ∞ a k − ∑ k = 1 n a k R_n=\sum_{k=1}^{\infty}a_k-\sum_{k=1}^{n}a_k Rn=k=1akk=1nak
也就是余项 R n R_n Rn是级数 S n S_n Sn的第n项一直到最后的值的和。

 

 

这里我们用积分去确定余项的范围
∫ n + 1 ∞ f ( x ) d x ≤ R n \int_{n+1}^{\infty}f(x)dx \le R_n n+1f(x)dxRn
微积分总结(数列与无穷级数)_第3张图片

R n ≤ ∫ n ∞ f ( x ) d x R_n\le \int_{n}^{\infty}f(x)dx Rnnf(x)dx
微积分总结(数列与无穷级数)_第4张图片

所以这样就得出了结论
∫ n + 1 ∞ f ( x ) d x ≤ R n ≤ ∫ n ∞ f ( x ) d x \int_{n+1}^{\infty}f(x)dx\le R_n \le\int_{n}^{\infty}f(x)dx n+1f(x)dxRnnf(x)dx
 

 

起始开始我看图也没有理解这个公式,但是在反复几次观察后还是理解了,因为余项是从n开始的级数,毫无疑问的是,它肯定大于n+1项的级数和小于n-1项的级数和,但是得出这样的结论并没有意义,所以我们拿积分去继续缩小余项的一个范围。

首先要知道的是,无论是图1还是图2,这个级数的形状,大小都是不变的。

所以下标的n或者n+1都是针对于积分来说的,于是在级数图形开始时n或者n+1都是没有影响大,所以就会有图上的大小对比的图形,

 

 

我们都知道
S = ∑ k = 1 ∞ a k = ∑ k = 1 n + R n S = \sum_{k=1}^{\infty}a_k=\sum_{k=1}^{n}+R_n S=k=1ak=k=1n+Rn
这时候我们把不等式的每一个项都加上 ∑ k = 1 ∞ a k \sum_{k=1}^{\infty}a_k k=1ak会得到

微积分总结(数列与无穷级数)_第5张图片

ps:我其实也不知道推到这个的应用是什么,可能是刚开始学习吧,整个理解的也不是很清晰,反正就是这样大概。

 

 

比率,根值和比较判别法

 

比值判别法

如果 ∑ a k \sum a_k ak是正数项的无穷级数,那么有 r = lim ⁡ k → ∞ a k = 1 a k r=\lim_{k\to \infty}\frac{a_{k=1}}{a_k} r=limkakak=1

  1. 如果0 ≤ \le r<1,这个级数收敛

  2. r>1(包含了r等于无穷的情况),那么这个级数发散。

  3. 如果r =1,这个级数无法判定

 

根式判别法

如果 ∑ a k \sum a_k ak是一个都是非负向的无穷级数,那么就有 ρ = lim ⁡ k → ∞ a k k \rho =\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k} ρ=limkkak

  1. 如果0 ≤ ρ \le \rho ρ<1,这个级数收敛
  2. 如果 ρ \rho ρ>1(包括 ρ \rho ρ为无穷的情况),那么这个级数发散
  3. 如果 ρ \rho ρ=1,那么这个级数无法判断

 

比较判别法

如果 ∑ a k \sum a_k ak ∑ b k \sum b_k bk是带正数项的级数

  1. 如果0< a k ≤ b k a_k\le b_k akbk,而且 ∑ b k \sum b_k bk收敛的话,那么 a k a_k ak收敛

  2. 如果0< b k ≤ a k b_k \le a_k bkak,而且 ∑ b k \sum b_k bk发散的话,那么 ∑ a k \sum a_k ak发散

 

此外,比较判别法还有它的一个极限形式

比较判别法的极限形式

如果 ∑ a k \sum a_k ak ∑ b k \sum b_k bk是带正数项的级数
lim ⁡ k → ∞ a k b k = L \lim_{k\to \infty}\frac{a_k}{b_k}=L klimbkak=L

  1. 如果0 ∞ \infty ,那么 ∑ a k \sum a_k ak ∑ b k \sum b_k bk的敛散性一致
  2. 如果L=0,而且 ∑ b k \sum b_k bk收敛,那么 ∑ a k \sum a_k ak收敛
  3. 如果L = ∞ \infty ,而且 ∑ b k \sum b_k bk发散,那么 ∑ a k \sum a_k ak发散

 

 

交错级数
交错级数判定法

形如有收敛的交错级数 ∑ ( − 1 ) k + 1 a k \sum (-1)^{k+1}a_k (1)k+1ak

  1. 级数的项是非增的(或者是在某一个有限项以后是非增的)

  2. lim ⁡ k → ∞ a k = 0 \lim_{k \to \infty}a_k=0 limkak=0

 

交错调和级数

交错调和级数总数收敛的,形如
∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 5 + . . . . . . \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...... k=1k(1)k+1=121+3151+......
 

交错级数的余项

R n = ∣ S − S n ∣ R_n=|S-S_n| Rn=SSn

 

 

 

绝对收敛和条件收敛

∑ a k \sum a_k ak本身收敛,这就是绝对收敛

此级数的绝对值收敛,那就是条件收敛

 

 

 

www很重要的

条件 结果
∑ a k \sum a_k ak的绝对值收敛 ∑ a k \sum a_k ak 收敛
∑ a k \sum a_k ak发散 ∑ a k \sum a_k ak 的绝对值发散

 
ps:
经常的我们会经常用交错级数判别法来判断上表判断不了的情况。

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